「区別をする、しない」の考え方（高校数学：場合の数・確率などで）

質問

こんばんは。
今、テキストで場合の数をやっているのですが、基本的なところでつまずいてしまいました。

「大きさの異なる二つのさいころを同時に投げるとき、目の和が8となる場合は何通りあるか」という問題で、正しい解答は、

「大、小のさいころの目をそれぞれx、yとする。

x+y=8のとき
(x, y) = (2, 6) (3, 5) (4, 4) (5, 3) (6, 2) の5通り
x+y=9のとき
(x, y) = (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3) の4通り
x+y=10のとき
(x, y) = (4, 6) (5, 5) (6, 4) の3通り
x+y=11のとき
(x, y) = (5, 6) (6, 5) の2通り
x+y=12のとき
(x, y) = (6, 6) の1通り

これらは同時に起こらないから、答えは15通り」

とあります。
ですが、私の解答は、「(4, 4)」や「5, 5」や「(6, 6)」も、大小で区別しなければいけない…と思って、二つの場合で考えてしまい、その余分な3つの場合の数を上記の解答に加え、答えを18通りとしてしまいました。しかし、なぜ区別しなくていいかが、よく分からず、質問させていただきました。

場合の数と確率は、高校数学の中で最も苦手な分野で、特に「区別する、しない」の判別でいつも間違えたり、迷ってしまいます。
また、確率は常に「区別する」考え方で解けるとの話を伺ったのですが、それも何でなのか、分かる方が居ましたら、教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

問題は目の和が8『以上』となる場合ですね。(答えからみると）

まず基本に立ち戻って6×6の出目の和の表を書いて見ましょう。

| 1 2 3 4 5 6
------------------
1| 2 3 4 5 6 7
2| 3 4 5 6 7 8
3| 4 5 6 7 8 9
4| 5 6 7 8 910
5| 6 7 8 91011
6| 7 8 9101112

大小サイコロを区別したとき合計が8になるのは
(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)の5通りですね。
サイコロを区別しようとしまいと(4,4)は元々1通りしか有りません。
サイコロを区別しない場合、(2,6)と(6,2)、(3,5)と(5,3)の区別がつかなくなるので2通り引いて3通りとしているだけです。元に戻しても最初から1通りしかない(4,4)は2倍にはなりません。

>確率は常に「区別する」考え方で解ける
確率が計算できる前提は起こりやすさが全て等しく、全てを足すと1になることです。
上で見たように二つのサイコロを区別しなければ(4,4)も(2,6)も一通りずつとなりますが、起こりやすさは(2,6)の方が2倍あることが分かります。((6,2)もあるので。）
起こりやすさが等しくなければ確率は計算できません。
全部でX通りあり、その内Y通りの事が起こる確率はY/Xと計算する時に大事なのは全ての起こりやすさが等しいかどうかということです。
上で見たように「区別しない」考え方は起こりやすさが等しくない場合が多いのです。

お礼

age_momoさん、詳しい解答をしてくださって、どうもありがとうございました。
また、確率についての疑問に対しても答えて下さり、ありがとうございます。とても分かりやすかったです！

回答No.4

PRIXDEL

ごめんなさい。
age_momoさんの言う通りです。
(大4,小4)などは1通りしかないです。(小4,大4)って書いてもおなじですもんね。

テキストの解答が間違っていることは多くあるってのは確かなんですが、信憑性無くなってしまいましたね。m(_ _)m

回答No.3

PRIXDEL

経験則からなのですが、高校などのテキストの問題や進学塾（駿台や河合）の試験問題を作っているのは、やはり人間であり、しかも塾講師などが少人数で作っている場合が多いようです。

センター試験などと異なり、十分多くの人がチェックを行なっているわけではないため、解答の間違いが多く存在します。
そのため、この解答はaki_suzuさんの考えであっているように思います。

テキストの答えは絶対ではなく、間違いも出版社などによっては多く存在することを念頭に置き、先生に聞いたり、出版社に直接問い合わせたりするのがいいと思います。

先生に聞き難いとは思いますが、分からないことは、人に質問・相談をする習慣をつけておくことは、後々役に立つと思いますよ。

では勉強がんばってください。

お礼

PRIXDELさん、解答してくださってどうもありがとうございました！
今回はテキストがチャート式なので、解答のほうが合っていると思う…のですが、確かに、赤本だと解答に間違いが出てくる、という話を聞いたことがあります（まだ、手を付けてないので、自分はまだ出会ってませんが・・・・・・）。
あと、分からないことを質問するのは、あまりにも基本的なことすぎないかな…とか、思ってしまって、恥ずかしい気持ちもあるのですが、うやむやにするよりはいいのか、と感じました。どうもありがとうございました！

回答No.1

debut

これはもう自分の憶測に過ぎませんが、同じ目のときに一瞬、大・小の
さいころの順番を考えてしまうのではないですか？
出目と書き表す上で便宜的に決めた順番の混乱が、同じ出目のときに起
こってしまうのではないでしょうか。「そういえば、(１，２)と(２，１)
は違うのだから、(４，４)と(４，４)も区別しなきゃ。」と思ってしまう
のでは？

もしそうだとしたら、（ｘ、ｙ）と表示したことの意味を考えてみてくだ
さい。
さいころの出目を常に「大→小の順番で見る」と決めたことと同じでは
ないでしょうか。そうすれば、大が４で小が４を、「大が４で小が４」と
「小が４で大が４」の２通りだとは言えなくなります。

もし、見当違いなことを言っているようでしたらごめんなさい。

お礼

気づいてみれば、確かにそうでした！
答えて下さり、どうもありがとうございました。