ラプラス変換

質問

x"+2x-y'=1
x'+y"+2y=0
を
x(0)=1,x'(0)=0,y(0)=0,y'(0)=0
のもとにときなさいという問題です。
それぞれ
(s^2+2)X(s)-sY(s)=s+1/s
sX(s)+(s^2+2)Y(s)=1
としクラマースの公式によりそれぞれについてといたのですがその後の逆変換がうまくいきません、どなたか教えていただけると助かります。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1,#2です。
A#2の補足の解答について
>X(s)=(s^4+4*s^2+2)/{s*(s^2+1)(s^2+4)}
>Y(s)=1/[(s^2+1)(s^2+4)]
ここまで合っている。

>から
>x=(1/6)(3t + 2cost + cos2t)
x(t)は最初の項が間違い。
正しいx(t)は
x(t)=(1/2)+(1/3)cos(t)+(1/6)cos(2t) (t≧0)

>y=(1/6)(2sint - sin2t)
y(t)は合っている。
y(t)=(1/3)sin(t) -(1/6)sin(2t) (t≧0)

お礼

1/sの逆変換でミスしていました。
ありがとうございました。解き方と答えがわかり助かりました。

回答No.2

info22

#1です。
A#1の補足の回答
>どのように分母を変形して部分分数をもとめたらよいでしょうか？
部分分数展開するには、まず分母を因数分解しないと
部分分数に分解できませんね。
それ以前にY(s)が間違っているようですから、再計算してチェックして下さい。チェックは求めたX(s),Y(s)を連立方程式に代入してみれば間違いが分かります。
クラマースの公式を使わなくても、連立方程式を解けばX(s)、Y(s)は出てきます。

>X(s)=(s^3+4s+2/s) / (s^4+5S^2+4)
分子に 1/s　を残して置かないで、分母に sを持っていくこと。
正しい式は
X(s)=(s^4+4*s^2+2)/{s*(s^2+1)(s^2+4)}
=a/s + bs/(s^2+1) + cs/(s^2+4) + d/(s^2+1) + e/(s^2+4)
と部分分数展開すればいいでしょう。定数は未定係数法で求めて下さい。
>Y(s)=(2s^2+3) / (s^4+5S^2+4)
このY(s)は間違いなので再計算して下さい。正しくでたら、X(s)と同じように部分分数展開して、係数を未定係数法で求めて下さい。

分からないことがあれば、そこに至る計算式の詳細を補足に書いて行き詰った箇所の質問して下さい。

補足

X(s)=(s^4+4*s^2+2)/{s*(s^2+1)(s^2+4)}
Y(s)=1/[(s^2+1)(s^2+4)]
から
x=(1/6)(3t + 2cost + cos2t)
y=(1/6)(2sint - sin2t)
と解けました。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22

>(s^2+2)X(s)-sY(s)=s+1/s
>sX(s)+(s^2+2)Y(s)=1
ここまで合っている。

>クラマースの公式によりそれぞれについてといたのですが
求めたなら
X(s)=　…
Y(s)=　…
を書いて下さい。

後のやり方だけ。

X(s)とY(s)を部分分数展開
X(s)=　…
Y(s)=　…
してから、ラプラス変換の
cos,sin,1 などの変換公式を逆用すれば
ラプラス逆変換が求まります。
x(t)=1/2+(1/3)cos(t)+ …
y(t)=(1/3)sin(t)- …

抜けているところは自分で検算しながら計算して見てください。

補足

すいませんでしたクラマースの公式を使用後は
X(s)=(s^3+4s+2/s) / (s^4+5S^2+4)
Y(s)=(2s^2+3) / (s^4+5S^2+4)
としましたがその後の部分分数への展開がうまくできません。
どのように分母を変形して部分分数をもとめたらよいでしょうか？
よろしくお願いします。