ラプラス変換の初期値問題

質問

y'+0.2y=0.01t・・・・(1)
y(0)=-0.25　
解 y=0.05t-0.25
をラプラス変換を使って解くのですが、
L(y')=sL(y)-y(0)
Y=L(y)として(1)を変換して

sY-y(0)+0.2Y=0.01/s^2・・・(2)

Y(s+0.2)=0.01/s^2-0.25・・・・(3) ←Yの係数をまとめる

Y=0.01/s^2(s+0.2)-0.25/(s+0.2)・・(4)←両辺に1/(s+0.2)をかける

この時点でまず、0.25/(s+0.2)は逆変換した時、0.25exp^(-0.2)
になってしまい、この後計算していくと、
解の0.05t-0.25と異なった答えがでてきてしまいます。
どこで間違ってしまったのかわからず困っています。
どなたか教えてください。

それから、文章が長くなって申し訳ないのですが、
初期値問題を解いていると、
部分分数分解や、
部分分数分解を解くための３つ以上の連立方程式がでてくることで、
計算ミスの増加や、
式の整理が不十分な為、遠回りな解答をしてしまったりと一問
にとても時間がかかってしまいます。
部分分数分解のスマートなやり方はないのでしょうか。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「0.25/(s+0.2) を逆変換して 0.25 exp -0.2t になる」というのはそのままにしておいていいと思います. 多分, 第1項の 0.01/s^2(s+0.2) を逆変換すれば相殺されるはず.
もっとも, 0.01/s^2 - 0.25 = 0.01(1 - 25s^2)/s^2 = 0.01(1-5s)(1+5s)/s^2 なので, s+0.2 = (1+5s)/5 で割ると因数が 1個消えます. あ, できた.

お礼

回答ありがとうございます。
>0.01/s^2 - 0.25 = 0.01(1 - 25s^2)/s^2 = 0.01(1-5s)(1+5s)/s^2 なので, s+0.2 = (1+5s)/5 で割ると因数が 1個消えます。
のやり方で解いたところ、解けました。
重ねての質問申し訳ないのですが、
0.01/s^2(s+0.2)を逆変換するとは、
どのような方法を取ればいいのでしょうか。

回答No.2

Tacosan

えぇと, まあ逆変換するんだから部分分数に分解するしかないですね. 手元計算によれば第1項を部分分数に分解すると
0.05/s^2 - 0.25/s + 0.25/(s+0.2)
になって, きっちり第2項が相殺されます. 部分分数に分解するのも, 地道に
0.01/s^2(s+0.2) = a/s + b/s^2 + c/(s+0.2)
とおいて a, b, c を求めていくのが普通かな.

お礼

丁寧な回答大変ありがとうございます。
さらに計算がややこしくなりそうですね・・・。
どうすれば、簡単な部分分数になるかについては、
勘というか早く「気づく」ことが重要そうなのがわかりました。
問題をたくさん解くことが近道そうですね。
ありがとうございました。