y''+2y'＋ｙ=sin(t)のラプラス変換

質問

ラプラス変換の勉強のため、
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetrans/Laplace6.htm

の問題を少しずつ解いています。しかし、

y '' + 2 y '＋ ｙ = sin(t) 　ただし y(0) = 1, y'(0) = 0

でまた足踏み状態です。

-y'(0) + s ( -y(0) + sY(s) ) + 2 ( -y(0) + sY(s) ) + Y(s) = 1 / (s^2 + 1^2)
↓
0 -s + s^2 Y(s) -2 + 2sY(s) + Y(s) = 1 / (s^2 + 1^2)
↓
Y(s) ( s^2 + 2s + 1 ) - s - 2 = 1 / (s^2 + 1)
↓
Y(s) ( s + 1 )^2 = 1 / (s^2 + 1) + s + 2
↓
Y(s) = 1 / ( (s^2 + 1) ( s + 1 )^2 ) + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2
↓
= (1 / 4) ( s / ( ( s + 1 )^2 - 2s ) - s / (s + 1)^2 ) + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2
↓
= (1 / 4) s / ( s^2 + 1 ) - (1 / 4) s / (s + 1)^2 + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2
↓
= (1 / 4) s / ( s^2 + 1 ) + (3 / 4) s / (s + 1)^2 + 2 / ( s + 1 )^2

ここでつまづいてしまいました。
s / ( s^2 + 1 ) はcos(t)、
2 / ( s + 1 )^2 は 2te^(-t) (だと思う)、のですが、
s / (s + 1)^2 をどう逆変換するか分かりません。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>s / (s + 1)^2 をどう逆変換するか分かりません。

部分分数変換して

s/(s+1)^2 = 1/(s+1) - 1/(s+1)^2

補足

回答有り難うございます。途中間違っていたので、再度計算しなおしました。

-y'(0) + s ( -y(0) + sY(s) ) + 2 ( -y(0) + sY(s) ) + Y(s) = 1 / (s^2 + 1^2)
↓
0 -s + s^2 Y(s) -2 + 2sY(s) + Y(s) = 1 / (s^2 + 1^2)
↓
Y(s) ( s^2 + 2s + 1 ) - s - 2 = 1 / (s^2 + 1)
↓
Y(s) ( s + 1 )^2 = 1 / (s^2 + 1) + s + 2
↓
Y(s) = 1 / ( (s^2 + 1) ( s + 1 )^2 ) + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2
↓
= (1 / 2s) ( 1 / ( ( s + 1 )^2 - 2s ) - 1 / (s + 1)^2 ) + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2
↓
= (1 / 2s) 1 / ( s^2 + 1 )
- (1 / 2s) 1 / (s + 1)^2
+ s / ( s + 1 )^2
+ 2 / ( s + 1 )^2
↓
= 1 / 2s - ( 1 / 2 ) s / ( s^2 + 1 )
- ( ( s + 2 ) / 2 ) ( 1 / s ( s + 2 ) - 1 / ( s + 1 )^2 )
+ 1 / ( s + 1 ) - 1 / ( s + 1 )^2
+ 2 / ( s + 1 )^2
↓
= ( 1 / 2s ) - ( 1 / 2 ) s / ( s^2 + 1 )
- 1 / 2s + ( 1 / 2 ) s ( s + 1 )^2 + 1 / ( s + 1 )^2
+ 1 / ( s + 1 ) - 1 / ( s + 1 )^2
+ 2 / ( s + 1 )^2
↓
= ( 1 / 2s ) - ( 1 / 2 ) s / ( s^2 + 1 )
- 1 / 2s
+ ( 1 / 2 ) 1 / ( s + 1 ) - ( 1 / 2 ) 1 / ( s + 1 )^2
+ 1 / ( s + 1 )^2
+ 1 / ( s + 1 ) - 1 / ( s + 1 )^2
+ 2 / ( s + 1 )^2
↓
=
+ ( 3 / 2 ) 1 / ( s + 1 )
- ( 1 / 2 ) s / ( s^2 + 1 )
+ ( 3 / 2 ) 1 / ( s + 1 )^2
↓
L^-1[ Ys ] =
+ ( 3 / 2 ) e^(-t)
- ( 1 / 2 ) cos (t)
+ ( 3 / 2 ) t e^(-t)
↓
y = ( 3 / 2 ) e^(-t) - ( 1 / 2 ) cos (t) + ( 3 / 2 ) t e^(-t)

検算
y = ( 3 / 2 ) e^(-t) - ( 1 / 2 ) cos (t) + ( 3 / 2 ) t e^(-t)
2y' = - ( 6 / 2 ) e^(-t) + ( 2 / 2 ) sin (t) + ( 6 / 2 ) e^(-t) - ( 6 / 2 ) t e^(-t)
y'' = ( 3 / 2 ) e^(-t) + ( 1 / 2 ) cos (t) - ( 3 / 2 ) e^(-t) - ( 3 / 2 ) e^(-t) + ( 3 / 2 ) t e^(-t)

なので、
y'' + 2y' + y = sin (t)

y(0) = ( 3 / 2 ) e^(0) - ( 1 / 2 ) cos (0) + ( 3 / 2 ) 0 e^(0) = 3 / 2 - 1 / 2 + 0 = 1
y'(0) = - ( 3 / 2 ) e^(0) + ( 1 / 2 ) sin (0) + ( 3 / 2 ) e^(0) - ( 3 / 2 ) 0 e^(0) = - 3 / 2 + 0 + 3 / 2 - 0 = 0

どうもありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

分子が定数になるよう部分分数に分解.