ラプラス変換・微分方程式

質問

微分方程式、

ty'' - (1-t)y' + 2y = t-1
y(0) = 0
y'(0) = 1

について、
-----以下自分の回答-------------

L[y''] = s^2 * Y(s) - 1
L[y' ] = sY(s)

L[ty''] = -L[(-t)y''] = d(s^2Y(s)-1)/ds = 2sY(s) + s^2 dY(s)/ds
L[ty' ] = -L[(-t)y' ] = d(sY(s))/ds = Y(s) + s dY(s)/ds

よって、

2sY(s) + s^2 dY(s)/ds - Y(s) - s dY(s)/ds -sY(s) +2Y(s) = 1/s^2 - 1/s

・・・
--------------------------------
ここから先へ進めません。
というか、また、微分方程式になってしまってお手上げです。
回答には、t+(c/2)t^2 とあるのですが、
途中結果も載っておらず、このcはどっから来たんだ？状態です。
積分定数かなんかでしょうか

もうひとつもラプラス変換についてです。
(sin(at))^3
のラプラス変換を求めたいのですが、
これは、定義に従って
∫(sin(at))^3 * exp(-st) dt
として、部分積分で展開するしか方法が思いつきません。
そしてとてつもなく面倒くさそうです。
なにか効率のよい求め方とかはないですか？

回答No.5

guuman · ベストアンサー

失礼しました
落とし穴に落ちてました
修正します

Ｌ［ｙ・ｈ］＝Ｙ　（定義）
Ｌ［ｙ’・ｈ］＝ｓ・Ｙ
Ｌ［ｔ・ｙ’・ｈ］＝－ｓ・Ｙ’－Ｙ
Ｌ［ｔ・ｙ”・ｈ］＝－ｓ＾２・Ｙ’－２・ｓ・Ｙ
（既に初期条件を使ってある）

となる
問題の式の両辺にｈをかけて

ｔ・ｙ”・ｈ－（１＋ｔ）・ｙ’・ｈ＋２・ｙ・ｈ＝ｔ・ｈ－ｈ

両側ラプラスすると

ｓ・Ｙ’＋３・Ｙ＝１／ｓ＾２

式変形して
（ｓ＾３・Ｙ）’＝１

よって
Ｙ＝１／ｓ＾２＋Ｃ／ｓ＾３

両辺を逆ラプラスして
ｙ・ｈ＝（ｔ＋Ｃ・ｔ＾２／２）・ｈ

Ｃ／２は任意定数だからあらためてＣとすると
ｙ・ｈ＝（ｔ＋Ｃ・ｔ＾２）・ｈ

つまり０≦ｔにおいて
ｙ＝ｔ＋Ｃ・ｔ＾２

任意定数Ｃは残ります
この式で確かに
ｙ（０）＝０でありｙ’（０）＝１だからです

常識にとらわれていました

お礼

返事大変おくれてしまってごめんなさい。
ヘビサイド関数を何故かけるかというのがちょっとわからないのですが、
式をながめながらその意味を考えてみようと思います。

回答No.6

Tacosan

ラプラス変換だけ:
3倍角の公式を使うってのはどうでしょうか?

お礼

ありがとうございます。
３倍角にするとたしかに、sinの１次式にできますね！

回答No.4

guuman

最後訂正

ｙ・ｈ＝ｔ・ｈ
となる

回答No.3

guuman

私の場合だと
（ｈをヘビサイドとしＬを両側ラプラスとする）

Ｌ［ｙ・ｈ］＝Ｙ
Ｌ［ｙ’・ｈ］＝ｓ・Ｙ
Ｌ［ｔ・ｙ’・ｈ］＝－ｓ・Ｙ’－Ｙ
Ｌ［ｔ・ｙ”・ｈ］＝－ｓ＾２・Ｙ’－２・ｓ・Ｙ
（既に初期条件を使ってある）

となります

ｔ・ｙ”・ｈ－（１＋ｔ）・ｙ’・ｈ＋２・ｙ・ｈ＝ｔ・ｈ－ｈ

は

ｓ・Ｙ’＋３・Ｙ＝１／ｓ＾２
すなわち
（ｓ＾３・Ｙ）’＝１
すなわち
Ｙ＝１／ｓ＾２＋Ｃ／ｓ＾３
となり
ｙ＝ｔ・ｈ
となる

回答No.2

guuman

t+(c/2)・t^2

はおかしい
なぜならば初期条件があるから
初期条件を入れればｃ＝０となるはずだが何故なっていないのだろうか？

お礼

あれ、いわれてみればそうですね。

ということは根本的に、この問題集の問題が
おかしいんですかね・・。
y' に、 ty' とtが掛かっている微分方程式の問題が
これしかないので、解き方の確認ができないのが非常
に残念です。

解き方の方針としては私がやった方法であっている
のでしょうか？一般的に ty' とか　ty'' とかが
混ざっている微分方程式の解法はどういったものが
知られているのでしょう。

回答No.1

guuman

t+(c/2)t^2
が答えだと回答する気がしません

初期条件が与えられているのにｃがある
しかもこの式を微分方程式に代入しても合わない

問題を正しく修正することをお勧めします

お礼

またご回答くださってありがとうございます。

ご指摘頂いた通りまたもや問題の転記間違いでした。

ty'' - (1+t)y' + 2y = t-1

です。
回答を代入したところ、ちゃんとつじつまはあっているようです。