逆ラプラス変換の問題です

質問

1自由度系減衰振動の問題です。この関数を逆ラプラス変換しなさい。ｍｘ’’+ｃｘ’+ｋｘ＝ｆ（ｔ）、ｘ（０）＝ｘ０、ｘ’（０）＝ｖ０とする
至急お願いします
m{s^2x(s)-sx0-v０}+c{sx(s)-x0}+kx(s)=F(s)これを逆ラプラス変換してください

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

No1,2 の tknakamuri です。

No,3 のご回答ですが

1) x0, v0 が無視されています。
2) 初期条件が静止状態ではない場合、X=TF の形にはならないはずです。
3) 仮になったとしても T をインパルス応答として解いても
　 物理的な意味はあまりないと思います。

というわけで 関数 x(t) を求めよという話だと思います。
たぶん。
＃多分元の問題にはもっとはっきり書いてあると思うのですが・・・

基本的にはヘビサイドで解けるところは解いて、
f(t) は∫[0～t]f(τ)g(t-τ)dτ (g(t)は 1/(ms^2+cs+k)のラプラス逆変換)
という形で残せばよいかと思われます。

ちょっと時間が無いので、取りあえずここまで。

お礼

こんなにも長い式を書いていただきありがとうございます。

回答No.3

xpopo

F(s) = m{s^2x(s)-sx0-v０}+c{sx(s)-x0}+kx(s)

= (m*s^2 + cs + k)*X(s) - m*(s*x0 -V0) -c*x0　　 (1)

と書き換えて、この式（１）から入力をF(s)とした場合の出力をX(s)とすると、出力X(s)は

　X(s) = (1/(m*s^2 + cs +k))*F(s) 　 (2)

と表されます。ここで入力F(s)はokamoto1122さんの質問には明記されていませんが、この伝達関数X(s)／F(s)の逆ラプラス変換は入力F(s)を単位インパルス入力にした場合に求められますので、F(s)は

　F(s) = 1 (3)

で表されますのでこの式（３）を式（２）に代入して

　X(s) = 1/(m*s^2 + cs +k)　　　

　　　 = (1/m)/(s^2 + (c/m)*s + (k/m))　　　　(4)

ここで、(k/m)=ωn^2、c/m=2*ζ*ωnとおいて式（４）を書き換えて

　X(s) = (1/k)*(ωn^2）／(s^2 + 2*ζ*ωn*s + ωn^2)　　　　(5)

この式（５）を逆ラプラス変換して

　X(t)　＝　((1/k)*ωn／√(1 - ζ^2）)*(EXP(-ζ*ωn*t))*sin(ωn*√(1 - ζ^2）*t)

　　但し、ζ=c/（√(k*m))＜１

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>L[x(t)]=X(s) ・・・

いやそういうことではなくてf(t)の式なんですが、

ひょっとして、f(t)は未知のまま、f(t)を含んだ解を求めよという
問題なんでしょうか？

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

f(t) を与えてください。でなければ F(s)は決まらず、
逆変換もできません。

補足

申し訳ございません。f(t)=mx''+cx'+kx
L[x(t)]=X(s)
L[X'(t)]=sX(s)-x(0)
L[X''(t)]=s^2X(s)-sx(0)-x'(0)となります