ラプラス変換で微分方程式の一般解を求めるには限界がある？

質問

ラプラス変換を覚えて、微分方程式を簡単に解いてしまおうと思い勉強していたのですが、
y' = (1+x)y
という問題において、
y(0) = a , L[y(t)] = Y(s) , L[y'(t)] = sY(s) - y(0)
とし、与式の両辺のラプラス変換を取って
sY(s) - a = Y(s) - Y'(s) <-像関数の微分法則より
となると思います。このY'(s)の処理の仕方が分かりません。
答えは y = Cexp(x+x^2/2) (Cは定数) らしいのですが、これはラプラス変換では難しいのでしょうか。
(s-1)Y(s)が出てくるのでexp(x)は納得できるのですが、何故xを積分したと思われる値がexp()内に出るのか分かりません。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

変数分離形なので y で割って積分するだけで解が求まりますが，
あえてラプラス変換で解きたい，という話だと思います．

しかし，残念ながら，単純にラプラス変換するだけでは無理です．
　y'(x) = (1+x) y(x)
　Y'(s) = (1-s) Y(s) - a
ということで x の領域と s の領域で方程式が本質的に変わっていません．
（これは exp(x^2) 系の関数の持つ重要な特徴の１つです）

一応，表と裏を連立で解く，みたいなことをすると解けますが，
労力の割りに報われない方法だと思います．

ラプラス変換は，基本的には定数係数非斉次微分方程式に対して
効力を発揮するもので，それ以外に対しては適用できたらラッキーです．
というよりも，そもそも微分方程式自体が「解けたらラッキー」なので，
１つの方法で全部解決しようとするのは無理があるかと思います．

お礼

なるほど、言われてみれば確かに全く状況が解決していませんね。
微分方程式自体が解けたらラッキーだと言う話も、そう言えば聞いた事がありました。
やはり、ある程度の解き方は覚えないと駄目なようですね。

ご回答、ありがとうございました。