ラプラス変換を常微分方程式に応用

質問

ラプラス変換を用いて、次の微分方程式の解 y(t) のうち、
初期条件 y(0)=1 を満足するものを求めよう。

　　　　　dy/dt + 3y = 0

y(t) のラプラス変換を Y(s) とすると、dy/dt のラプラス変換は

　　　　　sY(s) - y(0) = sY(s) - 1　　　　　←sY(s)はどうやって出てきたの？

であるから、微分方程式の両辺のラプラス変換を作ると次の式を得る。

　　　　　sY(s) - 1 + 3Y(s) = 0

したがって、

　　　　　Y(s) = 1/(s+3)

これをラプラス変換すれば、

　　　　　y(t) = e^(-3t)

・・・と書いてあるんですが、sY(s)のところが分かりません。

y(t) のラプラス変換を Y(s) とすると、dy/dt のラプラス変換は

　　　　　sY(s) - y(0) = sY(s) - 1

となる、の sY(s) はどうやって出てきたんですか？
最初の s の出所が知りたいです。

ちなみに、ラプラス変換の表では
「基本的な関数は f(t) で表し、そのラプラス変換をF(s)と表す」そうで、

f(t)　　　　　F(s)
-------------------
e^(at) f(t)　F(s-a)

のように書かれています。
sY(s)のようなのは書かれていないと思うんですけど…。
どうか sY(s) を得るまで解説お願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

f(t) のラブラス変換が F(s) であるとき、
df/dt のラブラス変換は sF(s)-f(0) です。
ラブラス変換表に載っていませんでしたか？

sY(s) の頭の s は、部分積分から発生します。
df/dx のラブラス変換を定義に従って計算するとき、
部分積分を行って…

∫[0～∞] exp(-sx) (dy/dx) dx
= [exp(-sx) y(x)]_(0～∞) - ∫[0～∞] (-s) exp(-sx) y(x) dx
= (0 - y(0)) - (-s)∫[0～∞] exp(-sx) y(x) dx
= -y(0) + sY(s).

被積分関数を積に分割して、dy/dx を積分する側、
exp(-sx) を微分する側として、部分積分したのです。

ただし、定数項を計算するとき、
s ＞ 0 と lim[x→∞] y(x) が有界であること
が仮定されています。

お礼

ありがとうございます。
回答者様の回答を読んでやっと気付きましたが、
おっしゃるとおり、ラブラス変換表に載っていました！
ただ、
　　　　　L[f^(n)(t)] ⇒　s^n F(s) - f(0+)s^(n-1) - f'(0+)s^(n-2) - ... - f^(n-1)(0+)

と一般化されていたので、f'(t) = dy/dtと脳内変換できませんでした。
部分積分の方法は本には載っていませんでした。本に合わせてdxをdtに置き換えて本の隅にメモしておきます。

> ∫[0～∞] exp(-st) (dy/dt) dt
> = [exp(-st) y(t)]_(0～∞) - ∫[0～∞] (-s) exp(-st) y(t) dt
> = (0 - y(0)) - (-s)∫[0～∞] exp(-st) y(t) dt
> = -y(0) + sY(s).

そのうち、自分一人でも導けるように頑張ります。
ありがとうございました！