ラプラス変換を使った微分方程式です

質問

dx/dt + 2y = cos(t) , x(0)=1
x - dy/dt = sin(t) , y(0)=-√2

を解きなさい。なお、x(t),y(t)にはiは含まれない形にすること。

という問題なのですが、両辺をラプラス変換して、X(s),Y(s)を出せてもそこからがうまく逆変換できません。どなたか教えてください。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

mmkyです。質問者のlassenさんコメントを読みますと、
dx/dt + 2y = cos(t) , x(0)=1
x - dy/dt = sin(t) , y(0)=-√2
は連立方程式のようですね。
そうでしたら、質問者さんの指摘のように、
更にx(s)かy(s)で連立方程式を解かないといけませんね。

sx(s)+2y(s)=1+s/(s＾2+1) --(1)
x(s)-sy(s)}=√2 +1/(s＾2+1) --(2)
(1)-s*(2)=
=y(s){s＾2+2}=1-s√2

y(s)=(1-s√2)/{s＾2+2}
=(1/√2)√2/{s＾2+(√2)＾2}-s√2/{s＾2+(√2)＾2}
y(t)=(1/√2)sin√2t-√2cos√2t

x - dy/dt = sin(t)
x - {cos√2t+2sin√2t}= sin(t)
x(t)=sin(t)+cos√2t+2sin√2t

(検証)
dx/dt=cost-√2sin√2t+2√2cos√2t
dx/dt + 2y=
cost-√2sin√2t+2√2cos√2t+2{(1/√2)sin√2t-√2cos√2t}
=cost

x(t)=sin(t)+cos√2t+2sin√2t
y(t)=(1/√2)sin√2t-√2cos√2t

ですね。これが正しい解ですね。
訂正と追伸まで

参考URL：

http://kenpei-web.hp.infoseek.co.jp/math/laplace/

お礼

分かりやすい回答ありがとうございました。連立方程式って書くのを忘れててスイマセン。

回答No.3

mmky

「右辺の分母が０になるところの留数×e^stを足し合わせて・・・っていう風に解こうと思っていたのですが、というかこの解き方しかないと思ってました。どういうときに私の解き方が使えるのか、または使えないのかできれば教えていただきたいのですが・・・。」

コメントまで：
ラプラス変換は本来、電気回路や機械工学の過渡解析に持ちいられるものです。そういう物理的なところから体系付けられた物理数学です。数学体系的にはラプラス変換はフーリエ変換の一部、ｔ＞0　のみを扱った場合と考えられます。特別な場合を除いては、f(ｓ)の代数的な処理と変換表を使って逆変換できます。多くのケースで変換表が用意されていますので代数的な形式を合わせれば逆変換できるということです。複雑な式では分数多項式に展開する際に留数を利用して展開するケースがあります。ラプラス変換で検索すればいろいろな式の変換表がありますので、変換パターンを覚えておくことも役にたつと思います。
ということで、今後の参考程度まで

お礼

大変ありがとうございます。特別な場合を除いては変換表を使えるということは大体は変換表を覚えておくだけでいいのですね。ラプラス変換の体系的なこともわかって本当にためになりました。

回答No.1

mmky

dx/dt + 2y = cos(t) , x(0)=1
sx(s)-x(0)+2y(s)=s/(s＾2+1)
sx(s)-1+2y(s)=s/(s＾2+1)
sx(s)+2y(s)=1+s/(s＾2+1)
x(s)+2y(s)/s=1/s+1/(s＾2+1)
逆変換
x+2∫ydt=1+sin(t)
0→ｔ

x - dy/dt = sin(t) , y(0)=-√2
x(s)-sy(s)+y(0)=1/(s＾2+1)
x(s)-sy(s)-√2 =1/(s＾2+1)
x(s)-sy(s)=√2 +1/(s＾2+1)
x(s)/s-y(s) =√2/s+1/s(s＾2+1)
逆変換
　∫xdt-y=√2+1-cos(t)
0→t

註：1/s(s＾2+1)=Laplace{1-cos(t)]

参考程度まで

お礼

なるほど、こういう解き方があるのか。って感じです。こういう解き方だとiなんてでてきませんね。私は、X(s),Y(s)が出たらどっちかに代入してX(s)だけの式にして、X(s)について解いて、右辺の分母が０になるところの留数×e^stを足し合わせて・・・っていう風に解こうと思っていたのですが、というかこの解き方しかないと思ってました。どういうときに私の解き方が使えるのか、または使えないのかできれば教えていただきたいのですが・・・。