中間値の定理

質問

中間値の定理、、、

３次方程式x^3-x^2-2x+1＝0は区間(-2.1)に少なくとも１つの実数解をもつことを証明せよ
f(x)＝x^3-x^2-2x+1とする
f(-2)＝（-2)^3-(-2)^2-2×-2+1＝-7
f(1)＝-1-1+2+1
f(-2)とf(1)は互いに異符号である
よって中間値の定理により
ｆ（x）＝0を満たすxが少なくとも1つ存在する

中間値の定理って
１ 関数f(x)が閉区間[a,b]で連続で、f(a)≠f(b)の時f(a)とf(b)の間にある任意のkに対してf(c)=kを満たす点cが少なくとも一つ存在する。
２ 特にf(x)が閉区間[a,b]で連続で、f(a)とf(b)が異符号の時f(x)＝0を満たすx即ち方程式f(x)＝の解が少なくとも一つ存在する。

これって何で中間値の定理の２番使って証明してますが何で２番使うんですか？
だって互いに異符号なのを最初に示してる時点で２を使ってますよね

２は中間値の定理ですよね

あとこれがどうなったら、公式1にすればいいんですか？

回答No.4

banakona · ベストアンサー

＃２です。

＞どうしましょう。区間(-2.-1)でした。やばいです。

大したミスではないと思います。添削をさせてもらうと、

＞f(1)＝-1-1+2+1

ここは「f(-1)＝-1-1+2+1＝１」とすべきでした。f(-1)としなかったのは大したことではありませんが、最後に「＝１」がないこと、つまりプラスであることを明示していないことの方が痛そうです。次の行の

＞f(-2)とf(1)は互いに異符号である

も正しくは「f(-2)とf(-1)は互いに異符号である」ですが、これも大したミスではありません。
私が採点者なら、－1を１と書いたミスが２つ合わせてマイナス１点、「＝１」がないことがマイナス１点でしょうか。

＞テストだからエクセルは使えないんですよね

エクセルというのは、将来、「実務」で方程式を解く場合の話ですよ。（貴方が将来、ミュージシャンや専業主婦（主夫？）になるというなら必要ないでしょうが、本業、日曜大工、洋裁など、意外な場面で解く必要に迫られるかもしれません。本サイトを観ていると、そうした人が困っている場面に時々遭遇します。ココで聞いても、欲しい回答が期限までに得られるとは限りません。自分で解けるようにしておくのが一番です）

補足

３次方程式x^3-x^2-2x+1＝0は区間(-2.1)に少なくとも１つの実数解をもつ
って最後は書くんじゃないんですか？最後は
ｆ（x）＝0を満たすxが少なくとも1つ存在する
になってますが、だからなんなのさって話になりますよね

回答No.3

Mandheling

>だって互いに異符号なのを最初に示してる時点で２を使ってますよね

いいえ、その時点では互いに異符号であることを示しただけで、中間値の定理は使ってません。
そこで中間値の定理を使うことを示すために「よって中間値の定理により」と記述します。
定理等を使用するときは、何を使うかを明確に示さないと、証明の回答としては不十分なものであると思います。

＞あとこれがどうなったら、公式1にすればいいんですか？

公式2は公式1の特殊な例で、公式1のk=0の時が公式2ですよね。
またg(x)=f(x)-kとする関数g(x)を考えると、g(c)=0ですよね。
要は回答番号1さんのように公式2の形に変えるということですが。

＞結局問題書くの違ってしまったわけですが、この間違った問題だと普通に代入したんじゃ出てこないってことですか？

そうですね、単純に代入しただけじゃ回答できないでしょう。
微分を習っていれば比較的簡単に回答可能です。

回答No.2

banakona

＞だって互いに異符号なのを最初に示してる時点で２を使ってますよね

よくこうした答案を書きますが、その通り。「中間値の定理２」を最初から使っています。思考の流れとしては・・・

（ｆ（ｘ）＝０となるｘがあることを示すんだから、中間値の定理２を使おう。与えられた区間[－２、－１]の両端で異符号になるとありがたいのだが・・・

＞f(-2)＝（-2)^3-(-2)^2-2×-2+1＝-7
＞f(-1)＝-1-1+2+1

しめしめ、異符号になった。）

となって、ここで

＞よって中間値の定理により

と書くわけです。さも「中間値の定理２」を使うことを今、思いついたかのように。

（蛇足１）私の勉強不足かもしれませんが、中間値の定理１を使う問題を私は見たことがありません。＃１さんの言うように、大抵は中間値の定理２に持ち込んで解きます。

（蛇足２）問題文の通り、区間(-2.1)だとすると、結構いじわるな問題です。ｆ（－２）もｆ（１）もマイナスなので、自分でｆ（α）がプラスとなるαを探す必要があります。でも一般的な方程式では、－２も－１も自力で見つける必要があるので、探す訓練をしておいた方が実務的です（私はズルをしてエクセルのゴールシークでアタリをつけてから２分法（中間値の定理の応用です）で精度を上げます）。もっとも本問の場合、ｆ（０）がプラスなので大して苦労はしませんが。（だから３次方程式x^3-x^2-2x+1＝0は（－２，－１）に少なくとも一つ、（－１，１）に少なくとも一つ解を持つことになります。もう一つの解は１．８０１９・・・となるようです）

補足

テストだからエクセルは使えないんですよね
ごめんなさい。どうしましょう。区間(-2.-1)でした。やばいです。

自分でｆ（α）がプラスとなるαを探す必要があります。
＞結局問題書くの違ってしまったわけですが、この間違った問題だと普通に代入したんじゃ出てこないってことですか？

回答No.1

notnot

計算がおかしいようです。f(1)=-1ですよ。区間(-2,-1)でしょうか？

＞何で２番使うんですか？

示したいのが「f(x)=0を満たすxがある」だからでしょう。

＞あとこれがどうなったら、公式1にすればいいんですか？

問題が、
「３次方程式x^3-x^2-2x+1=-4は区間(-2,-1)に少なくとも１つの実数解をもつことを証明せよ」なら１のパターンでやるかも。「f(x)=-4を満たすxがある」と。
でも普通は、g(x)=x^3-x^2-2x+5 と置いて g(x)=0 をターゲットにするほうがわかりやすいけど。