連続関数（証明）

質問

（1）奇数次の代数方程式
　　　x^2n+1 +A1 x^2n +…+A2n x+A2n+1=0
　　は少なくとも一つ実数解をもつ。
※Aの横にあるのは下付きで考えてください。

（2）a>0,q∈Nに対して x^q -a=0は正の解をもつ。
の証明方法が分かりません。どちらも
“関数f(x)が[a,b]で連続でf(a)・f(b)<0ならば,方程式f(x)=0の解が存在する。”という定理を使うと思うんですが…。よろしくお願いします。

回答No.1

legacysrm · ベストアンサー

(1)
f(x)=x^2n+1 +A1 x^2n +…+A2n x+A2n+1とします

x→+∞とするとf(x)→+∞ です
またx→-∞とするとf(x)→-∞ です

f(x)が連続関数であるのは自明です

よって中間値の定理より少なくても一つのf(x)=0の解を持つ

お礼

よく分かりました。ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

legacysrm

(2)
qが奇数の場合は(1)と同じx→+∞、-∞の場合を考えればいいです

qが偶数の場合はx=0の場合とx→∞の場合を考えればOK

お礼

2つとも答えていただきありがとうございました。
すっごく助かりました(^^)