位相空間論における中間値の定理の証明

質問

こんにちは。
中間値の定理についての質問です。

「・中間値の定理
　Xを位相空間、f : X → R を連続関数とする。
　Xが連結で、x1,x2 ∈ X が f (x1) < f (x2) を満たすとき、f (x1) < t < f (x2)を満たす任意の ｔ に対して、
　f (x) = t をみたすx∈Xが存在する。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」

授業や参考書では以下のようにして証明していました。

「（概略）
　このようなｘが存在しないと仮定する。
　このとき、f (X) ⊂ (-∞ , t) ∪ (t , ∞) となる。
　したがって、f (X) ∩ (-∞ , t) と f (X) ∩ (t , ∞) は f (X) の分離となる。
　これはf (X) の連結性に矛盾する。
　よって題意をみたすxが存在する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」

しかし、私は次のように証明しました。

「このようなｘが存在しないと仮定する。
　A = f^(-1) ((-∞ , t)) , B = f^(-1) ((t , ∞))　とおく。
　ｆの連続性からAとBはともに開集合。
　さらに x1∈ A , x2 ∈ B よりAとBはともに空集合ではない。
　A∪B = X , A∩B = φよりAとBはXの分離になる。
　これはXの連結性に矛盾する。
　よって題意をみたすxが存在する。　　　　　　　　　　　　　　　」

この私の証明でどこか間違った部分はあるのでしょうか？
思わぬところでミスがありそうで不安でしたので質問しました。

わかる方がいましたら回答よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba

「連結空間の連続写像による像は連結である」
という定理の証明をどうするのかが分かれば
疑問は解けるのでは？

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つまりこの定理を使うか
定理の証明と同じような議論をするかというだけの
違いです．