中間値の定理

質問

Cを円周とし、f:C→Rが連続するとする。このとき必ずCのある直径が存在して、その両端でのfの値が一致することを証明せよ。
この問題が中間値の定理の章にある問題なんですが、中間値の定理にどう結びつければよいのか思いつきません。よろしくお願いします。

回答No.2

ippei99 · ベストアンサー

g(θ)=f(θ)-f(θ+π)とおく。
g(0)＝f(0)－f(π)
g(π)＝f(π)－f(2π)＝f(π)－f(0)
よって、g(0)、g(π)は異符号がともに0である。
ともに0のときは当然。
異符号のとき、g(t)＝0となるtが0とπ
の間に存在しf(t)＝f(t+π)が成立。

お礼

もう一度問題見直してみたらすんなり解けました。どうもありがとうございました。

回答No.1

noname#24477

直径ＰＱがＡ，Ｂから出発するとする。
ｆ（Ａ）＝ｆ（Ｂ）　ならばすでに題意を満たしているから
ｆ（Ａ）＞ｆ（Ｂ）とする。（まあどちらが大きいとしてもいいんだが）
円の中心を回転の中心としてこの直径を回転させていく。
半回転する間に
ｆ（Ｐ）の値は　ｆ（Ａ）→ｆ（Ｂ）
ｆ（Ｑ）の値は　ｆ（Ｂ）→ｆ（Ａ）
と連続して変化していく。
半回転したところで大小関係が入れ替わっているので
途中で等しくなっているときがある。

アドバイスのつもりがほとんど解答になってしまいました。
もうしわけない。

お礼

ありがとうございます。問題見直して気づきました。