中間値の定理を用いて実数解をもつことの証明

質問

方程式f（X）＝x３乗＋aX二乗＋ｂx＋C＝０は

定数a,bのいかんにかかわらず一つの実数解を持つことを中間値の
うが
定理を用いて証明せよという問題があります。

適当にX＝２、X＝－４とかでｆ（X）の符号が違うことを

示して証明しようと思ったのですが

a、b、cと文字がでてくるので大小関係がわからず証明できずに

こまっています

どなたか教えてください

回答No.4

fukuda-h · ベストアンサー

少し荒っぽいですが中間値の定理を使うならば
この問題ではX^3の係数が1であることがポイントだと思います
グラフがN形をしていてXを∞にするとa,b,cの値を考えなくてよくなると思います。グラフの形を考えるのが中間値の定理のポイントだと思います。

　関数　f（X）＝x３乗＋aX二乗＋ｂx＋Cのグラフは-∞から∞の範囲で
　連続です（グラフが切れてない。つながっているということです）
ここでXの値をどんどん大きくすると　aの値が大きくても、もっともっとXの値を正の実数で大きくしていくと　f(x)の値は　X^3がずば抜けて大きくなってほとんどX^3を値になります。　つまり　X→∞のときf(x)→∞
ですね。
次に、今度は反対にXの値をどんどん小さく、負の実数を考えて-∞にします。やはりX^3の値が一番小さくてf(x)の値はX^3を値になります。つまり　X→-∞のときf(x)→-∞を考えます。　
これを使って
「関数　f（X）のグラフは-∞から∞の範囲で連続。X→∞のときf(x)→∞
X→-∞のときf(x)→-∞　であるから　中間値の定理によってすくなくとも
一つf(x)＝０となる実数ｘが存在する」
ゆえに、方程式f（X）＝x３乗＋aX二乗＋ｂx＋C＝０は
定数a,bのいかんにかかわらず一つの実数解を持つ
ではどうでしょうか？
この問題ではX^3の係数が1であることがポイントだと思います
グラフがN形をしていてXを∞にするとa,b,cの値を考えなくてよくなると思います

お礼

回答ありがとうございます

回答No.6

noname#47975

#5です。以下の部分で計算間違いをしておりました。すいませんm(__)m

f(n)f(-n) = {n^3 + an^2 + bn + c}{-n^3 + an^2 - bn + c}
{f(n)f(-n)}/n^6 = {1+a/n+b/n^2+c/n^3}{-1+a/n+b/n^2+c/n^3}
= (a/n + b/n^2 + c/n^3)^2 - 1

f(n)f(-n) = {n^3 + an^2 + bn + c}{-n^3 + an^2 - bn + c}
={(n^3 + bn) + (an^2 + c)}{-(n^3 + bn) + (an^2 + c)}
=(an^2 + c)^2 - (n^3 + bn)^2より、
f(n)f(-n)/n^6 = (a/n + c/n^3)^2 - (1 + b/n^2)^2
ですね．．。

以降は、
-1/4 < a/n < 1/4
-1/4 < c/n^3 < 1/4
-1/4 < b/n^2 < 1/4

となるようなnの値が存在する事が言え、
そのようなnの値であれば、

0 < (a/n + c/n^3)^2 < 1/4
9/16 < (1 + b/n^2)^2 < 25/16

を満たすので、

(a/n + c/n^3) < (1+b/n^2)^2となるので、
f(n)f(-n)/n^6 < 0が成立します。

n^6 > 0より、f(n)f(-n) < 0となるようなnの値が存在するので、
中間値の定理より、f(x)=0は -n < x < nの範囲内に少なくとも
１つの解が存在する事が言えます。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.5

noname#47975

n(n>0)とします。

f(n)f(-n) = {n^3 + an^2 + bn + c}{-n^3 + an^2 - bn + c}
{f(n)f(-n)}/n^6 = {1+a/n+b/n^2+c/n^3}{-1+a/n+b/n^2+c/n^3}
= (a/n + b/n^2 + c/n^3)^2 - 1

ここで、

-1/3 < a/n < 1/3,
-1/3 < b/n^2 < 1/3
-1/3 < c/n^3 < 1/3　（＊）

すなわち、

-1/3n < a < 1/3n 　
-1/3n^2 < b < 1/3n^2 ,　
-1/3n^3 < c < -1/3n^3

nはいくらでも大きな値を取る事ができる事から、
当然、上記不等式を満たすnの値は存在する事になります。

上記の範囲を満たすnの値は（＊）より、
-1 < (a/n + b/n^2 + c/n^3) < 1となる事から

f(n)f(-n)/n^6= (a/n + b/n^2 + c/n^3)^2 - 1 < 0

であり、

ここで、n^6 > 0より、f(n)f(-n) < 0となるようなnの値が存在すると
いえるので、中間値の定理より、-n < x < nの範囲にf(x) = 0の解が
少なくとも１つ存在すると言えます。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.3

masudaya

まず一回微分してみましょう.
するとf'(x)=3*x2乗+2a*x+b
になります,この式を変形すると

f'(x)=3*(x+2a/6)＾2+b-(2a/6)＾2
適当に変数変換をすると
f'(X)=3*X＾2+d
となります.この関数はd≧0のときとd<0のときで場合わけされて

X -∞ -√(d) √(d) ∞
f'(X) ＋ 0 － 0 + ∵d<0
f'(X) + ＋ ＋ ∵d≧0

となります.これから,f(-∞)＜０でf(∞)＞０となりますので,関数の連続性からどこかでf(X)=0となる点が存在します.

お礼

回答ありがとうございます

回答No.2

noname#60992

ヒントとしては、
x３乗＋aX二乗＋ｂx＋C＜0
x３乗＋aX二乗＋ｂx＋C＞0
の値が最低ひとつづつあればよいわけですよね。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.1

noname#69788

中間値の定理とは、微分を使うのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます