ロルの定理を使わずに、高校生が解くにはどうすれば良いか？

質問

ロルの定理を使わずに、高校生が解くにはどうすれば良いか？

xについての実数係数の3次方程式：f(x)＝x＾3＋ax＾2＋bx＋c＝0は　1/4＋a/3＋b/2＋c＝0のとき、0＜x＜1に必ず実数解を持つ事を証明せよ。

条件：1/4＋a/3＋b/2＋c＝0を見ると、3次方程式の不定積分の係数になっている。
f(x)＝x＾4/4＋ax＾/3＋bx＾2/2＋cx　とすると、f(1)＝0であるから、問題は「f´(x)が実数係数の4次式で　f(1)＝f(0)＝0のとき、f´(x)＝0は　0と1の間に実数解を持つ事を証明せよ」という事になる。

一見してわかるように、ロルの定理の特別な場合であるが、高校生に(ロルの定理なんかは知らないから)どのように説明したらいいのだろうか？

ロルの定理を使わない証明の私案

f(x)が定数でないなら、f(x)＝0でないxがある。そのようなxの一つの値をαとすると、f(α)＞0ならば、0≦x≦1でのf(x)の最大値≧f(α)＞0.
f(1)＝f(0)＝0からf(x)が最大となるxの値は0と1の間にある。
f(α)＜0の場合も同様に証明できる　(以下、省略)。。。。。としても、高校生には到底無理。

レベルとしても高校数学を超えているのは承知の上ですが、何か方法がないだろうか？

回答No.5

sak_sak · ベストアンサー

平均値の定理なら数学IIIで教えることは許容されているようです。

参考URL：

http://www.mext.go.jp/b_menu/shuppan/sonota/990301d/990301e.htm

お礼

平均値の定理は習っていました、余りわかってないようだか゛。
最終的に、
　(1)　実数解が1個、2個、3個の各々の場合のグラフを書き　面積で説明する。
　(2)　その上で、平均値の定理を使う。
の2つの方法を併用することでやりましたが、本当にわかったかどうかはわかりません。
(1)だけでは、いかに高校数学と言えども、証明として不十分と考えます。

アドバイスを有難うございました。

補足

＞平均値の定理なら数学IIIで教えることは許容されているようです

平均値の定理を習ってるんだろうか？　聞いてみます。

回答No.7

alice_44

この問題の場合、
F(x) = x^4/4 + ax^3/3 + bx^2/2 + cx と置くと、0 < x < 1 の範囲で、
F(x) が微分可能なばかりでなく、F '(x) が連続であることが言える。
この条件は、ロルの定理の成立条件よりも強い。
これを利用して、F '(x) に中間値定理を適用してしまえばいい。
中間値定理を知らない？ 中間値定理については、ゆとり以前の時代から、
高校では、グラフを描いて「直感的に理解」で済ませている。

回答No.6

Willyt

>実数解が1個か2個か3個か、わからない。その点の証明はどうするのか？

分かっていただけていないようです。ｃを消去したa,bの函数 f(0)・f(1) ≦0が a,b 値に関わらず成立することが証明されれればいいのですから、これをa の函数とみたとき、aの函数f(0)・f(1) =0 の根がなく、且つ任意のa,b の値に対して　f(0)・f(1)が負であればいいことになります。根がないための条件はf(0)・f(1) の aを変数としたときの判別式Ｄ=D(b)≦0 ですから、これが b の値に関係なく成立することを証明すればいいことになります。これもまた同じように判別式で証明することが出来ますが、平方を完成することで簡単に証明できると予想されます。

任意のa,b に対して負であることを示さなければならないのはそれが正であれば f(0)・f(1) ≧0　になってしまうので、そうではないことを示す必要があるのです。これはＤ＜０ですでに常に正か負かのどちらかであることが証明済みですが、一組の a,b を代入した値が負であることを示すことができればそれでいいのです。２つ３つと示す必要は全くありません。

回答No.4

nag0720

f(x)＝x＾3＋ax＾2＋bx＋c

f'(x)=3x＾2＋2ax＋b
から、極大極小をとるα、βを求めて、
0、１とα、βとの位置関係で場合分けして、
f(0)、f(1)、f(α)、f(β)の符号を調べていけばいいのでは。

例えば、極値をとらない場合は、
判別式＝a＾2－3b≦0
f(0)＝c＝－1/4－a/3－b/2≦－1/4－a/3－a＾2/6＝－{2(a＋1)＾2＋1}/12＜0
f(1)＝1＋a＋b＋c＝3/4＋2a/3＋b/2≧3/4＋2a/3＋a＾2/6＝{2(a＋2)＾2＋1}/12＞0

証明はかなり長くなるかもしれませんが。

補足

＞証明はかなり長くなるかもしれませんが

う～ん、証明もそうですが計算がしんどいですね。
最後まで到達するには、かなり忍耐力が必要です。

回答No.3

hiro001001

> 直感としてはその通りなんですが、それでは証明にはならない。

高校数学なら、充分証明として成り立つと思いますよ。

f(x)は実数係数の３次関数ですから、
f(0)＞0 f(1)＜0 の場合、および　f(0)＜0 f(1)＞0の場合は
0～1間で解を持つのは明らか。

f(0)＞0 f(1)＞0 の場合、0～1間で一度もX軸に交わらないとすると、
0～1間での定積分が正の値になってしまうので、矛盾。
したがって、最低1回は交わる。

f(0)＜0 f(1)＜0 の場合、0～1間で一度もX軸に交わらないとすると、
0～1間での定積分が負の値になってしまうので、矛盾。
したがって、最低1回は交わる。

f(0)=0 または f(1)=0 の場合は言うに及ばず。

補足

＞高校数学なら、充分証明として成り立つと思いますよ。

それでよいかどうか、判断の分かれるところだと思います。
実は、私が最初に着想したのは　面積に転化する貴方の方法でした。
しかし、その証明は余りに直感的すぎるように思います。

回答No.2

hiro001001

0から1までの定積分の答えが0になるのだから、0～1の区間でf(x)とx軸で囲まれた図形に関して、x軸よりも上部の面積とX軸よりも下部の面積が等しい。
f(x)は連続だから、0～1の区間でf(x)は最低1回はx軸と交わっている。

…っていう説明ではダメですかね。

補足

＞…っていう説明ではダメですかね

直感としてはその通りなんですが、それでは証明にはならない。

回答No.1

Willyt

簡単に証明できると思いますがね。

f(0)・f(1) ≦ 0　が　a,b,c に拘わらず成立することが証明できればいいわけですよね。但し与式が一つありますから、これからたとえばc　を消去すれば二つになりますね。

具体的にはc(a+b+c+1)≦0 ですよね。左辺を a に関する方程式とすれば a が根を持たず、且つ一つのa,b の値の組み合わせに対して負であることを示せればいいわけですから、その判別式がゼロまたは負という方程式を作り、これがｂに拘わらず成立することを示し、また任意のａ、ｂの組み合わせ、たとえば０，０のときに　上式が負であることを示せば証明終わりですね。運悪くその組み合わせで函数がゼロになってしまったときはゼロにならない組み合わせを一つ考えればいいのです。

補足

＞f(0)・f(1) ≦ 0　が　a,b,c に拘わらず成立することが証明できればいいわけですよね

実数解が1個か2個か3個か、わからない。
その点の証明はどうするのか？