平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。

質問

平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。
y=f(x)は区間［a,b]で連続で，区間(a,b)で微分可能であるとき，平均値の定理より・・・となるわけですが，(1)y=f(x)は区間［a,b]で連続　(2)区間(a,b)で微分可能である　ということですが，この２つは何が根拠なのですか？こういうことであってますかね？
y=f(x)が，例えば，２次関数（放物線）であった場合，
(1)すでにこのグラフの形を学んで知ってるので，そのグラフの形状を根拠に区間[a,b]で連続という。
(2)f(x)の導関数f'(x)があることを，すでに学んで知っている。また，f(x)が区間[a,b]で連続でなめらかであるから，f'(x)も区間(a,b)で全域で存在する。開区間になるのは，左微分係数＝右微分係数＝f'(a)が出来ないから，開区間になる。
ということでいいのでしょうか？

回答No.2

w0col · ベストアンサー

いきなり連続で微分可能と言ってはいけないのでは？
補足で言っているような事を表記し、故に連続、微分可能と証明したうえで使える定理ではないですか？

入試とかでも証明をしないと完答にならないと思いますし。

すでにグラフの形がわかっていようと証明は必須だと思います。
それに連続でなかったり微分不可能な場合平均値の定理は使えないですし。

なので、
なにが根拠か？
それを表記する前に記す証明では？

回答No.4

koko_u_u

>［a,b]の区間全域，あるいは(a,b)の区間全域で言うときには，どうすればいいのですか？

例えば、log(x) が連続であることを授業ではどのように習いましたか？

回答No.3

w0col

いきなり連続で微分可能と言ってはいけないのでは？
補足で言っているような事を表記し、故に連続、微分可能と証明したうえで使える定理ではないですか？

入試とかでも証明をしないと完答にならないと思いますし。

すでにグラフの形がわかっていようと証明は必須だと思います。
それに連続でなかったり微分不可能な場合平均値の定理は使えないですし。

なので、
なにが根拠か？
それを表記する前に記す証明では？

お礼

解答ありがとうございます。えっとですね，y=logxは区間[a,b](0<a<b)で連続で，区間(a,b)で微分可能なので，平均値の定理より・・・という書き方は，高校数学の記述型でこれでOKです。ただ，この区間内の連続といえる根拠は，y=f(x)が，すでに学んだ連続関数や，また連続関数の和の形などになっていて，そのグラフの今まで学んだ連続性からそれを根拠にしているのでは，なかったでしょうか？まちがっているのでしょうか？ちょっと，そのへんの高校数学のことについて聞きたいのですが。どうでしょうか？

補足

ああ，そうですね。私の最初の質問の言葉遣いが，ややおかしいですかね。
少し訂正します。
「平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。
y=f(x)は区間［a,b]で連続で，区間(a,b)で微分可能であるとき，」の最後の「であるとき」を，「なので］にします。

回答No.1

koko_u_u

>(1)すでにこのグラフの形を学んで知ってる
>(2)f(x)の導関数f'(x)があることを，すでに学んで知っている。
>ということでいいのでしょうか？

それだと、知らない曲線に遭遇した時にどうすればよいかわかりませんね。
「連続」と「微分可能」の定義を復習しましょう。

お礼

高校数学の範囲での理解では，x=aで関数f(x)が連続とはlim(x→a-0)f(x)=lim(x→a+0)f(x)=f(a)が成り立つとき。微分可能もx=aで，左微分係数＝右微分係数＝f'(a)（式省略）と思うのですが，ともに点x=aでの定義で，［a,b]の区間全域，あるいは(a,b)の区間全域で言うときには，どうすればいいのですか？