方程式2^x+x^3=0は-1より大きい負の解をもつことの証明(数学III)

質問

下記の問題の解き方がよくわからないので教えてください。

方程式2^x+x^3=0は-1より大きい負の解をもつことを証明せよ。

解答には「f(x)=2^x+x^3とおけば、f(x)は閉区間[-1,0]で連続であって…」と冒頭にあるんですが、なぜそうなのかがわかりません。
そこがわかれば中間値の定理により解くことができるのですが・・・
あと、この関数のグラフの書き方をできれば教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

>.... 「f(x)=2^x+x^3とおけば、f(x)は閉区間[-1,0]で連続であって…」と冒頭にあるんですが、なぜそうなのか ....

「2^x は指数関数 =EXP(x*LN(2))、x^3 は多項式で、どちらも明らかに閉区間[-1,0]で連続。f(x) はその和だから連続」
…くらいで済まさないと、身がもちませんよ。
はじめからちゃんと証明していると、トンデモ論文みたいになりそうです。

グラフも、書き込みスケール用紙でも用意されておれば、格子点くらいはちゃんと計算すべきでしょうが、そこまで要請されているのでしょうか？
略図でよければ、原点で x^3 の傾斜がフラットであることに注意するていどで、両端にて辻褄があってれば良さそう。

お礼

回答ありがとうございます。
・・・すいませんが、僕にはまだよくわかりません。
グラフは別にアバウトな感じでかければ構いません。

回答No.3

noname#101087

>.... グラフは別にアバウトな感じでかければ構いません。

アバウトなイメージだけでも。ふたつ別々に書いて、足し合わせるのが無難でしょうね。

　 x　　2^x　 x^3　 f(x)
　---　 ---　 ---　 ---
　 0　　 1　　 0　　 1

　-1　　0.5　 -1　　-0.5

>原点で x^3 の傾斜がフラット .....
2^x のほうは、原点に近づくと傾斜が急になる。

…ってな感じでいかが？

お礼

回答ありがとうございます。
たぶん書けそうです。ありがとうございます。

回答No.2

Mr_Holland

グラフの描き方の説明です。

１）　ｙ＝２^x　のグラフと、　ｙ＝ｘ^3　のグラフを描いてください。
２）　上の２つのグラフを足し合わせてください。

　特に、ｘ≦０の範囲については、次のように描けます。

３）　ｘ＝０のとき、ｙ＝１　を通る。
４）　ｘ＝－１のとき、ｙ＝－１／２　を通る。
５）　ｘ＝０でのｙ＝ｘ^3の傾きはｘ軸に平行なので、f(x)=2^x+x^3　のｘ＝０での傾きは、ｙ＝２^xの傾きに一致する。
６）　ｘ→－∞　に行くに従って、ｙ＝２^x　→＋０　なので、f(x)=2^x+x^3　→x^3　となる。
　　（ｙ＝x^3　に漸近する。）

　ちなみに、ｘ＞０においては、ｆ（ｘ）はｘ＝１、２での値をプロットして、急激に増加する様子が描ければよいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
足し合わせる・・・なんだか難しいですね