2変数関数のテイラーの定理の問題について
どうにか2変数関数のテイラーの定理の問題まで解き進めることができました。
ここまでこれたのも、こちらでご指導くださった皆様のおかげと大変感謝しております。まだまだ勉強不足ですが、引き続きご鞭撻のほど、よろしくお願いしまします。
2変数関数のテイラーの定理の問題を解いてみたのですが、
これであっているのか、ご指導いただければと思います。
特に(5)が自信ないです。
【問題】
次の2変数関数に、n=2の場合の「マクローリンの定理」を適用せよ。
※2変数関数のマクローリンの定理
f(x,y)=f(0,0)
+(1/1!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)} f(0,0)
+(1/2!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(2) f(0,0)
+…
+(1/(n-1)!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n-1) f(0,0)
+(1/n!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n) f(θx,θy)
(0<θ<1)
※2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合)
f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y}
+(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)}
(1) x+y
f(x,y)=x+y
f(0,0)=0
fx(x,y)=1
fx(0,0)=1
fy(x,y)=1
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=0
fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=0
fxy(0,0)=0
fyy(x,y)=0
fyy(0,0)=0
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0
(2) x^2+y^2
f(x,y)=x^2+y^2
f(0,0)=0
fx(x,y)=2x
fx(0,0)=0
fy(x,y)=2y
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=2
fxx(θx,θy)=2
fxy(x,y)=0
fxy(θx,θy)=0
fyy(x,y)=2
fyy(θx,θy)=2
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2)
=(1/2)(2x^2+2y^2)
=x^2+y^2
(3) x^2+2xy+y^2
f(x,y)=x^2+2xy+y^2
f(0,0)=0
fx(x,y)=2x+2y
fx(0,0)=0
fy(x,y)=2x+2y
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=2
fxx(θx,θy)=2
fxy(x,y)=2
fxy(θx,θy)=2
fyy(x,y)=2
fyy(θx,θy)=2
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2)
=(1/2)(2x^2+4xy+2y^2)
=x^2+2xy+y^2
=(x+y)^2
(4) x^3+y^3
f(x,y)=x^3+y^3
f(0,0)=0
fx(x,y)=3x^2
fx(0,0)=0
fy(x,y)=3y^2
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=6x
fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=0
fxy(0,0)=0
fyy(x,y)=6y
fyy(0,0)=0
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用する。
ただし、3次式のため、fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)までの計算とする。
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0
(5) e^(x)・sin(y)
f(x,y)=e^(x)・sin(y)
f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
fx(x,y)=e^(x)・sin(y)
fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
fy(x,y)=e^(x)・cos(y)
fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1
fxx(x,y)=e^(x)・sin(y)
fxx(θx,θy)=e^(θx)・sin(θy)
fxy(x,y)=e^(x)・cos(y)
fxy(θx,θy)=e^(θx)・cos(θy)
fyy(x,y)=e^(x)・(-sin(y))=-e^(x)・sin(y)
fyy(θx,θy)=-e^(θx)・sin(θy)
2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+1y)
+(1/2)(e^(θx)・sin(θy)・x^2+2・e^(θx)・cos(θy)・xy-e^(θx)・sin(θy)y^2)
=y+(1/2)e^(θx)(sin(θy)・x^2+2cos(θy)・xy-sin(θy)y^2)
=y+(1/2)θ・e^(θx)(sin(y)x^2+2cos(y)xy-sin(y)y^2)
=y+(1/2)θ・e^(θx)((x^2-y^2)sin(y)x^2+2cos(y)xy)
以上、よろしくお願いしたします。
補足
すみません。 今、代数方程式2z^5-4z+1=0の解の存在範囲をルーシェの定理を用いて求め|z|<2ということが分かりました。つぎにz=x+yiを与式に代入し実部Reと虚部Imに分けるとRe=2x^5-20x^3y^2+10xy^4-4x+1となりました。このx,yが実数なので中間値の定理が使えて|z|<2の範囲を絞り込めると思ったのですがどのようにしたら2変数関数に中間値の定理が使えるのか分からず質問させていただきました。