極限（数３

質問

入試で最終的に下のように帰着できる問題が出ました。

limｎ→∞　（ｎ＋１）（ｎ－１）＾ｎ－２÷２ｎ・ｎ＾ｎ－２

１／２でしょうか？ｗ
何かｅのにおいもするのですが分かりませんでした。
回答おねがいします

回答No.3

oshiete_goo

結果の検証のための参考別解です．

　{(n+1)(n-1)^(n-2)}÷{2n*n^(n-2)}
＝{(n+1)／2n}・{(n-1)／n}^(n-2)
＝{(1+1/n)／2}・(1-1/n)^(n-2)
＝(1/2)(1+1/n)・{(1-1/n)^n}・(1-1/n)^(-2)・・・（１）
ここで
(1-1/n)^n＝1／{(1-1/n)^(-n)}→1/e (n→∞)
（∵　(1+1/x)^x　はx→＋∞でも－∞でも→e）
に注意すると，ｎ→∞のとき
（１）→(1/2)(1+0)(1/e)(1-0)^(-2)＝(1/2)(1/e)＝１／(2e)・・・(答)

回答No.2

Aquoibonist

＃１のものです。
＞ {1-(1/n)}^n={(n-1)/n}^n
　={n/(n-1)}^(-n)
　={1+(1/(n-1))}*{1+(1/(n-1))}^(-n-1)
　{1+(1/(n-1))}は1に収束し、{1+(1/(n-1))}^(-n-1)は1/eに
　収束するので分子は1/eに収束する。
のところを、以下のように訂正します。

{1-(1/n)}^n={(n-1)/n}^n
　　　　　　={n/(n-1)}^(-n)
={1+(1/(n-1))}^(-1)*{1+(1/(n-1))}^{-(ｎ-1)}
{1+(1/(n-1))}^(-1)は1に、{1+(1/(n-1))}^{-(ｎ-1)}は1/eに収束するので、
分子は結局1/eに収束する。

回答No.1

Aquoibonist

ご質問が
lim(n→∞)　{(n+1)(n-1)^n-2}÷(2n*n^n-2)
と解釈して、問題を解きます。
まず、分母分子をn^(n+1)で割ります。
2/n^(n+1)は0に収束するので、分母は2に収束する。
1+(1/n)は1に収束する。
問題は、{1-(1/ｎ)}^nがn→∞で何に収束するかであるが、
これは
{1-(1/n)}^n={(n-1)/n}^n
={n/(n-1)}^(-n)
={1+(1/(n-1))}*{1+(1/(n-1))}^(-n-1)
{1+(1/(n-1))}は1に収束し、{1+(1/(n-1))}^(-n-1)は1/eに
収束するので分子は1/eに収束する。
従って答えは、1/(2e)になると思うのですが、自信はありませんので、
参考まで。