極限値問題

質問

極限値問題

lim[x→∞]（1+(1/x)）^x=eを使って、lim[x→-∞]（1+(1/x)）^x=e
を示せという問題なのですが、どのように解けば良いのでしょうか？

以前、lim[n→0]（1+n）^(1/n)=eの証明について質問させて頂きました。
証明は理解できました。
その時、lim[n→-0]（1+n）^(1/n)=eも成り立つと言うご回答を頂きました。
(1/x)=nとおけば、lim[n→-0]（1+n）^(1/n)と出来きます。
lim[n→+0]（1+n）^(1/n)=lim[n→-0]（1+n）^(1/n)がなぜ成り立つか証明
できませんので、教えて下さい。
感覚的には分かるのですが、式変形などで成り立つことが証明できないものでしょうか？

回答No.1

Grandmaster · ベストアンサー

＞im[x→∞]（1+(1/x)）^x=eを使って、lim[x→-∞]（1+(1/x)）^x=e
＞を示せという問題なのですが、どのように解けば良いのでしょうか？

x→-∞になる場合の定石としてxを別の文字で置くというのがあります。
x=-tとしてみましょう。
するとx→-∞のときt→∞です。
　lim[x→-∞]（1+(1/x)）^x
　＝lim[t→∞]（1-(1/t)）^-t
　＝lim[t→∞]（(t-1)/t）^-t
　＝lim[t→∞]（t/(t-1)）^t
　＝lim[t→∞]（(t-1+1)/(t-1)）^t
　＝lim[t→∞]（1+1/(t-1)）^t
　＝lim[t→∞] (1+1/(t-1))*（1+1/(t-1)）^(t-1) …※
ここでt-1=sとおきます。
するとt→∞のときs→∞です。
※＝lim[t→∞] (1+1/s)*（1+1/s）^s
＝1*e
＝e
よって、結果的にlim[x→-∞]（1+(1/x)）^x=eです。

＞lim[n→+0]（1+n）^(1/n)=lim[n→-0]（1+n）^(1/n)がなぜ成り立つか証明
＞できませんので、教えて下さい。
これって成り立つんですか？
nって自然数ですよね？
n→+0もn→-0もなくただ単にn→0だと思います。
（マイナスから近づけませんから。）

回答No.4

Grandmaster

さらにNo.1です。

＞lim[n→+0]（1+n）^(1/n)=lim[n→-0]（1+n）^(1/n)がなぜ成り立つか証明
＞できませんので、教えて下さい。
これって成り立つんですか？
nって自然数ですよね？
n→+0もn→-0もなくただ単にn→0だと思います。
（マイナスから近づけませんから。）

と書きましたが、そもそもｎは自然数ですのでn→0もおかしいですよね。
0の次はどうがんばっても1ですから、
im[n→∞]（1+(1/n)）^n=e
はありえても
lim[n→0]（1+n）^(1/n)=eはないですね。
＞以前、lim[n→0]（1+n）^(1/n)=eの証明について質問させて頂きました。
＞証明は理解できました。
これ質問したときのURL教えてください。
lim[x→0]（1+x）^(1/x)=eなら分かるんですが…

補足

ご回答ありがとうございます。
lim[x→-∞]（1+(1/x)）^x=eは理解できました。
x=-tとおいて式変形をして見たのですが、
lim[t→∞](1+(1/(t-1)))*(1+(1/(t-1)))^(t-1)が思いつきませんでした・・・
大変勉強になりました。

ところで、lim[n→+0](1+n)^(1/n)ですが、私の書き間違いです。[n]ではなく「h」でした。
すいません・・・lim[x→∞]（1+(1/x)）^x=eでxを使っていたため、h→0と回答を頂きました。
URL：http://okwave.jp/qa/q5796241.html

回答No.3

Grandmaster

No.1です。ちょっと訂正です。

※＝lim[t→∞] (1+1/s)*（1+1/s）^s
という式があると思いますが
※＝lim[s→∞] (1+1/s)*（1+1/s）^s
です。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。＾＾

x→ -∞をたとえば 別の文字で置き換えて t→∞となるようにしないと、
lim [x→∞] (1+ 1/x)^x＝ eを利用できないことはわかると思います。
そこから、「うまい変形」をすることになるのですが・・・

上のことを考慮して、t= -xとおくことにします。
すると、
(1+ 1/x)^x
＝ (1 -1/t)^(-t)
＝ { (t-1)/t }^(-t)
＝ { t/(t-1) }^t
＝ { 1+ 1/(t-1) }^t
＝ { 1+ 1/(t-1) }^(t-1)* { 1+ 1/(t-1) }

最後のかけ算の各項を見ると
(第 1項)→ e（定義より）、(第 2項)→ 1とともに有限確定値をもつことがわかるので、
lim [t→∞] (1- 1/t)^(-t)= e

となります。

分数関数のような変形をするところが、計算上のポイントですね。＾＾

お礼

ご回答ありがとうございます。
lim[x→-∞]（1+(1/x)）^x=eは理解できました。
x=-tとおいて式変形をして見たのですが、
lim[t→∞](1+(1/(t-1)))*(1+(1/(t-1)))^(t-1)が思いつきませんでした・・・
大変勉強になりました。