数列の極限について

質問

lim n→∞(nの式)

と書かれていたらnは自然数と限定していいものなのでしょうか．

京都大学や東京工業大学などの一流大学の入試問題に，

lim n→∞　∫(0からnπ)exp(-x)|sin x|dx

などといった問題がありますが，参考書等の模範解答を見ると，nは自然数として扱っています．

疑問に思いました．

よろしくお願いいたします．

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

結局、数列
a(n)=∫[(n-1)π→nπ] exp(-x)|sinx| dx
の和の極限を考えるという発想なんでしょう。
lim[n→∞] Ｓ(n) =lim[ｎ→∞] Σ[k=1,ｎ]a(k)

たとえば、
lim[ｎ→∞] ∫[0→nπ/√2] exp(-x)|sinx|dx
なら、
n/√2=mとして、
a(m)=∫[(m-1)π→mπ] exp(-x)|sinx|dx
として、
lim[m→∞] Ｓ(m)=lim[ｍ→∞] Σ[k=1,m] a(k)
となります。

大学で最初に勉強することですが、
数列の級数が収束するとき、
lim[n→∞]a(n)=0
であることが必要です（十分ではない）。
だから、∫[(n-1)π→nπ]a(n)　は０に近づいていくので、
積分の端がnπか、nπ+0.05とかはあまり気にしない。

気になるなら、
exp(-x)|sinx|>0なので、
積分が区間の範囲に従って単調増加であることを利用し、
ｍを整数として、
(ｍ-1)π＜ｎπ＜ｍπ　として、
∫[0→(m-1)π] exp(-x)|sinx|dx　＜∫[0→nπ] exp(-x)|sinx|dx
＜∫[0→mπ] exp(-x)|sinx|dx
はさみうちの原理を使えば、ｎが整数でなくとも、同じ値に
収束することを示すことはできます。

お礼

ご回答の方，ありがとうございます．

お答えいただいたことは理解できるのですが，
問題文中に「nは自然数である」と書いてないのに，nは自然数として扱ってよいのかということに疑問が残ります．
問題文には「級数」という言葉はなく，

次の極限値を求めよ．
lim[n→∞]∫(0→nπ)exp(-x)|sin x|dx

としか書いていないのですが，nは自然数としてよいのでしょうか．

また，高校数学の教科書や参考書にも

次の極限を求めよ．
\lim[n→∞](n^2-n)

のような問題があります．nは自然数だという文はないのです．

\lim[n→∞] と書いてあったら，習慣的にnは自然数としていいのでしょうかね．
入試問題でもそう解釈してよいのか疑問・不安が残ります．
教科書等に「\lim[n→∞] と書いてあったらnは自然数とする」とでも書いてあれば別なのですが．

回答No.5

joggingman

＃１で回答した手前、他の過去問を置いておきます。
東工大の問題は確認できましたが、ｎについて何とも書いてなかった
ですね。

宮城教育大の過去問
(1) f(x)=e^(-x)sinx,g(x)=e^(-x)cosxとおくとき導関数f'(x),g'(x)を求めよ。
(2) 自然数kに対してI[k]=∫e^(-x)sinxdx[(k-1)π ..kπ]　J[k]=∫e^(-x)cosxdx[(k-1)π ..kπ]とおくとき(1)の結果を用いてI[k]+J[k],I[k]-J[k]を求めよ。
(3) 自然数nに対してS[n]=∫e^(-x)|sinx|dx[0..nπ]とおくときlimS[n][n→∞]を求めよ。

自然数ｎとことわってあります(^^)

お礼

ご回答の方，ありがとうございます．

結局，どう判断すればよいでしょうかね…．
京都大学や東工大などといった難関大の場合，
解釈の仕方によっては0点となる可能性もあるかなと…．
もしかしたら何も断りがない場合，nを実数として扱ってほしいというのが出題者の意図かもしれませんし．
その場合，以前回答いただいたように，解答すべきでしょうし．
逆に，nは自然数という暗黙の了解の場合，そこまでしたら逆にまずいでしょうし．

どうしたものでしょうかね．

回答No.4

Meowth

数学的には出題ミスだけど
みんなわかるから
バッカじゃない
と思いながら、といてあげいるのでしょう。
解答の先頭で、ｎは自然数とする
とかでっかく断りましょう。
そして、笑って許してあげましょう。

でも、逆に
実数の集合をCとし、x∈C
とか
整数の集合をQ 有理数の集合をR　実数の集合をZ
として
なんて宣言したら、　笑われますけど
ということで、暗黙の文字や記号の使い方というのはあるので
その辺は、まあ.....

お礼

ご回答の方，あいがとうございます．

なるほど．
やっぱりnは自然数として扱うという習慣によるものもあるのですかね．
とくに極限の場合は．

回答No.3

Meowth

nは自然数と断ってなければ
なにかわかりません。
出題ミスですね。

お礼

ご回答の方，ありがとうございます．

やっぱり出題ミスですかね？
でも，参考書等の模範解答を見ると，nは自然数として扱っています．
出題ミスか何かがあれば，載っていそうな気もしますがね．
どうなんでしょうかね．

回答No.2

mazoo

高校数学の範囲で、数列以外の極限って定義されていましたっけ？
数列以外の極限(例えば関数の極限)が教科書に載っていないなら、nは自然数と考えてよいでしょう。高校では数列は自然数nに対してある実数値（複素数値も？)a_nを対応させるものですから。

お礼

ご回答の方，ありがとうございます．

高校の数学IIでもIIIでも，関数の極限は載っていますね．
この場合，もちろん実数に関して考えています．
となると，やっぱりnが自然数であるという断りがないと不自然ですよね？