極限値に関する質問です。

質問

極限値に関する質問です。

以前、質問させて頂いた内容を実際に解いて見ようと思ったところ
まったく出来ませんでした・・・
以前の質問内容：http://okwave.jp/qa/q5588555.html

【問題】

（1）lim[n→∞] n^(1/log n)：Ans.）eに収束
（2）lim[n→∞] (log n)^(1/log n)：Ans.）1に収束
（3）lim[n→∞] n^(1/log log n)：Ans.）∞に発散

（1）に関しては、eの定義なので
　・e=lim[n→∞](1+1/n)^n
　・e=lim［t→0］（1+t）＾1/t
ということは、知っているのですがなぜlim[n→∞] n^(1/log n)がeに収束するのでしょうか？

（2）と（3）は・・・状態です。

以上、途中回答も出せず、Googleで調べてもヒットしない状態です・・・
解き方や考え方を教えて頂けるとありがたいです。よろしくお願い致します。

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

#1～#5です。

A#5の補足の質問の回答

>いろいろ調べてみたのですが、右極限と左極限の考え方は間違っているでしょうか？
質問者さんの考え方で合っています。つまり
左から（上方から）近づく「x→a+0の場合の極限値」を左方極限値、
右から（下方から）近づく「x→a-0の場合の極限値」を左方極限値、
といいます。

A#5の下記の箇所は丁寧に説明を加えた積りが逆に書いてしまった
凡ミスですので訂正いたします。
誤：x→+0の時の極限値(右方極限値)もx→+∞（左方極限値）もeに収束します。
正：x→+0の時の極限値(左方極限値)もx→+∞（右方極限値）もeに収束します。

>今回左極限と右極限を考えている理由はなぜでしょうか？
これは、変数の定義域の外（上界または下界）側では変数そのものが存在しないため極限値も存在し得ないこと、
また、x=1/tの変数変換で、xの定義域とtの定義域との対応関係で、極限値を考える変数の上界および下界の対応関係と上界および下界の外側では極限値が存在しないため存在する方の極限値（左方極限値または右方極限値）だけを扱っていることを明示するために、特に上方および下方極限値の記述を採用しています。（そうしないと存在しない側の極限値を含んだ記述になって正しい表現ではなくなります。）

お礼

いろいろ調べたら理解できました。お手数をお掛けしました。
(log n)^(1/log n)(n→∞)⇔m^(1/m)=e^{log(m)/m}
は指数関数の底の変換より導けました。

しかし、微分でつまづきました・・・
log(m)/m→(1/m)/1=1/m→0(m→∞) が導けません・・・
商の微分に従って解いたのですが。。。
（log（m）´・m-log（m）・m´）/m＾2となって1/mが導けません・・・

上界と下界及びlog(n)=mとおくとn→∞の時m→∞が理解できていません。

ご教示頂けるとありがたいです。

補足

ご回答ありがとうございます。
理解しました。

変数の定義域の外側では変数そのものが存在しないわけですので
わざわざ左極限・右極限の場合と書くのは手間に感じました・・・
定義域が左極限と右極限次第で極限値が異なるのであれば記載が必要だとは
思うのですが・・・
数学的には定義域が外の場合であっても存在しない側の極限値を含んだ記述
になって正しい表現ではなくなるため左極限と右極限を示さなければならない
という事ですね。

また、私は数列の知識が乏しく上界や下界という言葉は聞いた事があるのですが、
今回の場合、上界とはどこで下界とはどこを指すのでしょうか？
勉強不足ですいません・・・

前回の質問内容に戻るのですが、f(x)=xe＾logxとf(x)=x＾1/logxは同じグラフに
なるのでしょうか？

さらに追加質問で本当に申し訳ないのですが、前回理解していたつもりでしたが、
log(n)＾（1/logｎ）[n→∞]も自分で解いてみると行き詰りました・・・
log(n)=mとおくとn→∞の時m→∞において、nが∞に行くスピードとlognが∞に行く
スピードはかなり違いますがn→∞の時m→∞として問題ないのでしょうか？
発散のスピードは特に関係ない？
また、m＾（1/m）=e^（logm/m）の式変換が分かりません・・・

本当に申し訳ないですが、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

info22_

#1～#4です。

A#4の補足質問について

>lim[n→∞] n^(1/log(n))において、n=1/tとおけばlim[t→+0] (1/t)^(1/log(1/t)) は成り立つでしょうか？

もちろん成り立ちます。さらに式を変形すれば近づける定点は異なりまっすが、式自体は同じ式になります。
それはグラフを見れば関数値が全変域で「e」（一定）であるからです。

公式「x^(1/log(x))=e」は 0＜x＜∞ で成り立つ関係式です。
x→+0の時の極限値(右方極限値)もx→+∞（左方極限値）もeに収束します。
なので
lim［n→+0］n^(1/log(n))→e　　…(■)
lim［n→+∞］n^(1/log(n))→e　…(●)

(●）の左辺で
n=1/t　とおけば　n→+∞ の時 t→+0　なので、
(●)の左辺
=lim[t→+0] (1/t)^(1/log(1/t))
=lim[t→+0] (1/t)^(1/(-log(t)))
=lim[t→+0] (1/t)^(-1/log(t))
=lim[t→+0] t^(1/log(t))　　　←この式は変数は異なるが(■)と同じ式

お礼

どうでしょうか？
いろいろ調べてみたのですが、右極限と左極限の考え方は間違っているでしょうか？

ご回答頂けるとありがたいです。

以上、よろしくお願い致します。

補足

いつも親切丁寧にご回答本当にありがとうございます。

x^(1/lnx)=eは、0＜x＜∞，x≠1で定義されると言うことは理解できました。
lim[t→+0] (1/t)^(1/log(1/t))
=lim[t→+0] (1/t)^(1/(-log(t)))
=lim[t→+0] (1/t)^(-1/log(t))
=lim[t→+0] t^(1/log(t))　　　
の計算についても理解できました。限りなく0に近づけても限りなく∞に近づけてもx^(1/lnx)は
eに収束するのですね。不思議です。

またまた質問で大変恐縮なのですが、今回左極限と右極限を考えている理由はなぜでしょうか？
また、左極限と右極限の意味が私が理解している内容と少し違っていたので質問させて頂きます。

例えば、f(x)においてxを限りなく0に近づけた場合lim[x→+0]f(x)=α（0より大きい値から0に
近づける）を右極限といいlim[x→-0]f(x)=α（0より小さい値から0に近づける）を左極限と認識
しています。

0＜x＜∞であるからx→-0は考える必要がないと考えて下ります。
また、∞には右方極限は存在しないと認識しています。ここでわざわざx→+0やx→+∞としているの
はなにか理由があるのでしょうか？

今回、f(x)=x^e＾（1/lnx）が例題として提示されていてこれはグラフを見ると0＜x＜∞，x≠1の範囲で
常にeですが、x^(1/lnx)も同じグラフになるのでしょうか？同じグラフになるのであれば両者の違いは
なんなのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

info22_

#1～#3です。

A#3の補足質問について

>最初に立ち返りますが、
>（1）lim[n→∞] n^(1/log n)：Ans.）eに収束
>（2）lim[n→∞] (log n)^(1/log n)：Ans.）1に収束
>（3）lim[n→∞] n^(1/log log n)：Ans.）∞に発散
>のlogはすべて自然対数ですか？私は、先ほどまで常用対数だと思っていまし
>た。

すべて自然対数です。
対数の底の変換公式を使えば相互に変換できますが
変換係数「log(10)e　またはlog(e)10」がつきます。
( )内は対数の底です。

log(10)x={log(e)x}/{log(e)10}={log(10)e}{log(e)x}
log(e)x={log(10)x}/{log(10)e}={log(e)10}{log(10)x}

微分・積分を扱う時は自然対数です。

片対数・両対数グラフ用紙や手計算で数値計算での対数計算や
信号や雑音、騒音レベルを扱う時やフィルタの減衰を表すデシベル[dB]を扱う時は常用対数です。

>でも、なぜlim[n→∞] n^(1/log n)=eが言えるのでしょうか？
>n=e^log(n)とおいて機械的に計算すれば、n^(1/log n)=eとなることはわかります。
>n=e^log(n)の出所がよくわからないです。
これは自然対数や指数関数の定義そのものです（恒等式ともいえます）。
なので、定義に基づく、指数部、真数部、基底の間の関係であって、他に出所はありません。

>なので、n→∞でなくてもいいのか？例えば1でも？と考えた次第です。

「n^(1/log n)=e」は　n>0,n≠1 のもとで常に成り立つ関係です。
なのでnが充分大きな値であれば、「n>0,n≠1 」を満たしますので
「lim[n→∞] 」の条件下では「n^(1/log n)=e」となります。
したがって
lim[n→∞] n^(1/log n)=lim[n→∞] e = e
となるのです。

>例えば1でも？と考えた次第です。
n=1の場合は左辺の(1/log n)が定義されませんので、左辺そのものが未定義となり、
「n^(1/log n)=e」という等式以前の問題になります(n→1の時の極限値は存在するが左辺の値は未定義で存在しない）。

>(1+1/n)^n『定義』とn^(1/log n)が等しいならば合点がいくのですが。
世界には沢山の数学者や物理学者、その他の分野の学者が色々いますので
定義は一通りとは限りません。また、説明に都合の良い定義をつかうため、異なる定義が存在してしまうことになります。
大勢は「e＝lim[n→∞](1+1/n)^n　をeの定義」としていますが、これで無いといけない理由はありません。

n^(1/log n)=e(ただし,n≠1,n>0)はどちらかというと公式です。
eを定義するのに対数の底にeを使った「log(e) n」を使って定義するわけには行きませんから。このため、この式は定義式にはできません。

補足

ご回答ありがとう御座います。お礼が遅くなり申し訳ございません。
風邪をひいてしまいダウンしていた次第です・・・

理解出来ました。定義は一つではないのですね。
大変勉強になりました。

一点だけ質問なのですが、lim[n→∞] n^(1/log n)において、n=1/tとおけばlim[t→0] 1/t^(1/log 1/t)は成り立つでしょうか？

以上、よろしくお願い致します。

回答No.3

info22_

>教科書などを読み直し復習しましたが、理解できませんでした・・・

もっと基礎的な所までさかのぼって復習しないとだめでしょうね。

両辺の対数をとるということも理解できないのでは。。。

> lim[n→∞] n^(1/log n)の場合、つまりnが無限大に限りなく近づけば
> n^(1/log n)はeに収束すると
> という事だと認識しています。

それは理解しないで、丸暗記ということでしょう。
＃受験生なら仕方が無いですが、大学生なら丸暗記はだめですね。

>・・・nが何であってもeに収束するのでしょうか？

何を根拠に、そう考えるのですか？
そんなはず無いでしょう。

>n=e^log(n)において、両辺の自然対数をとるとはどのような操作の事なのでしょうか？
>ln n=ln(e^log(n))???

両辺の自然対数をとると
左辺：log(n)

対数の公式　log(A^B)=B*log(A)を習っていませんか？
　今の場合 A=e, B=log(n) です。
これを適用して
右辺：log{e^log(n)}=log{A^B}=B*log(A)=log(n)*log(e)
log(e)=1なので
右辺=log(n)
となって左辺と一致します。
対数を取ると左辺＝右辺ですから、
対数をとる前でも左辺＝右辺が成り立つということです。
つまり
n=e^log(n)
は左辺と右辺が等しい関係ということです。

急には理解できないけれど、ゆっくり、じっくり、考えて数学に取り組んでいってください。そうすれば、ある時点を境に理解できる日が来るでしょう。

補足

ご回答ありがとうございます。

＞対数の公式　log(A^B)=B*log(A)を習っていませんか？
　基本的な対数の公式は知っていましたが・・・情けないです。言われて気づきました。

最初に立ち返りますが、
（1）lim[n→∞] n^(1/log n)：Ans.）eに収束
（2）lim[n→∞] (log n)^(1/log n)：Ans.）1に収束
（3）lim[n→∞] n^(1/log log n)：Ans.）∞に発散
のlogはすべて自然対数ですか？私は、先ほどまで常用対数だと思っていました。

ちょっと混乱しています・・・

n=e^log(n)よりn^(1/log n)=e^{log(n)/log(n)}=e^1=e→e(n→∞)の計算はわかりました。

両辺の自然対数をとった
logn=logｎ・logeも理解できました。

でも、なぜlim[n→∞] n^(1/log n)=eが言えるのでしょうか？
n=e^log(n)とおいて機械的に計算すれば、n^(1/log n)=eとなることはわかります。
n=e^log(n)の出所がよくわからないです。なので、n→∞でなくてもいいのか？例えば1でも？と考えた次第です。

(1+1/n)^n『定義』とn^(1/log n)が等しいならば合点がいくのですが。

勉強不足で申し訳ないですm(_ _)m

回答No.2

info22_

>わからない点があります。
>（1）n^(1/log n)についてなぜ、n=e^log(n)となるのでしょうか？
>　　n=e^log(n)なのでとありますが、これを導出できません。

n=e^log(n)
両辺の自然対数をとってみてください。
左辺と右辺が等しくなるでしょう。
これは、よく使う公式のようなものです。
自然対数、基底がeの指数の定義のようなものです。

eは自然対数の底、ネピア数、ネイピア数など呼ばれ、微分、積分、三角関数、双曲線関数、自然対数など数学の発展にとって、円周率と共に、ものすごく重要な数学定数です。
e^xは微分しても、積分しても同じ関数。
{log(x)}'=1/x, (1/x)の原始関数がlog(x)。
y=e^xの逆関数がy=log(x)
e^(ix)=cos(x)+isin(x)
cos(x)=(1/2){e^(ix)+e^(-ix)}
sin(x)=(1/2i){e^(ix)+e^(-ix)}
sinh(x)=(1/2){e^x-e^(-x)}
cosh(x)=(1/2){e^x+e^(-x)}
複素平面における位相項：e^(iθ)
1のn乗根：e^(kπi/n),(k=0,1, ... ,n-1)
自然界の物理現象の減衰特性は　e^(-t/τ)の関数となる。
正規分布関数や誤差関数などで　e^(-ax^2)　型の関数が使われる。
等々。

補足

お礼が遅くなり申し訳ございません。
教科書などを読み直し復習しましたが、理解できませんでした・・・

今回の問題ですが、
lim[n→∞] n^(1/log n)の場合、つまりnが無限大に限りなく近づけばn^(1/log n)はeに収束すると
という事だと認識しています。

ここで、例えば、lim[n→1]についてｎが1に限りなく近づくと想定して考えると、n=e^log(n)は同様にeに収束すると思うのですが・・・nが何であってもeに収束するのでしょうか？

n=e^log(n)において、両辺の自然対数をとるとはどのような操作の事なのでしょうか？
ln n=ln(e^log(n))???

理解不足ですいません・・・

e(ネイピア数)に関しての説明は理解できました。
減衰特性等様々な分野で利用されていることは知らなかったです。ありがとうございます。

回答No.1

info22_

(1)n=e^log(n)なので
n^(1/log n)=e^{log(n)/log(n)}=e^1=e→e(n→∞)

(2)log(n)=mとおくとn→∞の時　m→∞　なので
(log n)^(1/log n)(n→∞)⇔m^(1/m)=e^{log(m)/m}
ロピタルの定理より
log(m)/m→(1/m)/1=1/m→0(m→∞) なので
e^{log(m)/m}→e^0=1(m→∞)

(3)log(n)=mとおくとn→∞の時　m→∞　なので
n^{1/log(log(n))}=e^{log(n)/log(log(n))}(n→∞)
⇔e^{m/log(m)}(m→∞)
ロピタルの定理より　m/log(m)→1/(1/m)=m→∞(m→∞)
したがって
e^{m/log(m)}→∞ (m→∞)

補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅れてしまいすいません。

わからない点があります。
（1）n^(1/log n)についてなぜ、n=e^log(n)となるのでしょうか？
　　　n=e^log(n)なのでとありますが、これを導出できません。
　　　n^(1/log n)=e^{log(n)/log(n)}=e^1=e→e(n→∞)の計算については理解しています。

（2）m^(1/m)=e^{log(m)/m}が導出できません。
　　 ロピタルの定理より以下は理解できました。

（3）n^{1/log(log(n))}=e^{log(n)/log(log(n))}(n→∞)が導出できません。
　　　ロピタルの定理より以下は理解できました。

なぜ出自然対数の底eが出てくるのかが理解できません。なにか重要な定理を見逃しているのでしょうか？
参考になるサイトなどありましたらご教示いただけるとありがたいです。