極限の問題

質問

ｎ→∞のときｌｉｍ（ｎ＾２／２＾ｎ）＝０を示せ。
この問題の解き方を教えていただきたいです。

３以上の自然数ｎに対して不等式２＾ｎ≧ｎ＾２／２を示せという問題があり、これは証明できました。上の問題を解く時にこの条件を利用するのでしょうか？ちなみにこの問題は「はさみうちの定理」を利用するのでしょうか？恥ずかしながら、解き方を忘れてしまいました。どなたかヒントを下さい。回答よろしくお願いします。

回答No.3

postro · ベストアンサー

二項定理の最初の数項を考えると
(1+h)^n＞1+nh+(1/2)n(n-1)h^2+(1/6)n(n-1)(n-2)h^3
（ただしh＞０）
h=1 とおくと
2^n＞1+n+(1/2)n(n-1)+(1/6)n(n-1)(n-2)＞0
よって
n^2/2^n＜n^2/{1+n+(1/2)n(n-1)+(1/6)n(n-1)(n-2)}
右辺の分母と分子をn^2で割って　ｎ→∞ とすれば　右辺→0 とわかります
0＜n^2/2^n 　だからはさみうちの原理です

お礼

皆様、回答が遅くなってすみません。
二項定理を忘れていました。二項定理を使ってはさみうちの定理を利用するのですね。基本的な質問に答えていただいてありがとうございました。

回答No.2

m234023b

学年がわからないのでこの回答でいいのかわかりませんがロピタルの定理を使うのはどうでしょうか？？

lim(x^2/2^x)=lim(2x/2^xlog2)=lim{2/2^x(log2)^2}=0

となります．分母分子を不定でなくなるまで同じ回数微分して極限を求めるという方法です．証明は大学の解析学で習ってください．

回答No.1

Tacosan

例えば, 2^(n/2) と (n/2)^2 との関係を考えてみては?