極限値を求める

質問

lim[n→∞]{1-2/(n-1)}^(n-1)
を求めよ、という問題です。

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
なので、それに近い形になると思うのですが…。
とりあえず、a_n=(1-2/n)^nとおいて、二項展開しました。
が、正負の符号が+,-,+,-,…となり単調増加か減少かすら分かりません。
8項ぐらい計算すると、一応1未満の値に収束しそうなのですが…行き詰っています。
どなたか教えてください。

回答No.2

proto · ベストアンサー

n→∞のときだけでなく、n→-∞のときにも
　　lim[n→-∞]{(1+(1/n))^n} = e
が成り立つことを知っていますか？

この事実を用いれば、
-(n-1)/2=mと置けば、n→∞のときm→-∞で、
　　(1-2/(n-1))^(n-1) = (1+(1/m))^(m/2)
　　　　　　　　　　　= ((1+(1/m))^m)^(1/2) → e^(1/2)　　(m→-∞)
より、
　　lim[n→∞]{1-2/(n-1)}^(n-1) = √e
とわかります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

4028

2/(n-1)＝1/h h→∞
とおいて解いてみてください。

lim[h→∞](1+1/h)^h=e
が使える形になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。