極限値の求め方。

質問

解いてみたのですが、答えが合っているか分からないので添削、解答お願いします。

limの下にn→∞を書く書き方が分からないので、lim n→∞という変な書き方になってしまいますが、すみません。

lim n→∞ ((n/((n^2)+(1^2)))+(n/((n^2)+(2^2)))+…+(n/((n^2)+(n^2))))
これの極限値を求める問題です。

= lim n→∞ n((1/((n^2)+(1^2)))+(1/((n^2)+(2^2)))+…+(1/((n^2)+(n^2))))

= lim n→∞ 1/n(((n^2)/((n^2)+(1^2)))+((n^2)/((n^2)+(2^2)))+…+((n^2)/((n^2)+(n^2))))

= lim n→∞ 1/n((1/(1+(1^2)/(n^2)))+(1/(1+(2^2)/(n^2)))+…+(1/(1+(n^2)/(n^2))))

= ∫[0,1]1/(1+x^2)dx

= [(tan^-1)x][0,1]

=π/4

区分求積法を使って解いたのですが、合っている自信がありません。
見にくくなってしまったのですが、回答をお願いします。

回答No.1

noname#146456 · ベストアンサー

（与式）=lim[n→∞]Σ[k=1,n]{n/(n^2+k^2)}
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]{n^2/(n^2+k^2)}
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n][1/{1+(k/n)^2}]
=∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx
となります。

ここでx=tanθとおくと
dx/dθ=1/(cosθ)^2=1+(tanθ)^2
∴dx={1+(tanθ)^2}dθ
x:0→1のとき、θ:0→π/4
となるので
∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx
=∫[0,π/4][1/(1+(tanθ)^2}]*{1+(tanθ)^2}dθ
=∫[0,π/4]dθ
=[θ][0,π/4]
=π/4
となります。

O.K.です!!

お礼

ありがとうございます！
不安だったので安心しました！！