極限値求めてください＞＜

質問

lim[n→∞]{(n+1)(n+2)…(n+n)}^(1/n)
解き方がわからないので教えてください＞＜
答えは4/eです。

回答No.4

endlessriver

＃３さんであっているようです。
積分の結果は 2log2-1 ですからlog x を解くと
x=4/e です。

回答No.3

sak_sak

lim[n→∞]log[(1/n){(n+1)(n+2)…(n+n)}^(1/n)]
=lim[n→∞](1/n){log(1+1/n)+log(1+2/n)+…+log(1+n/n)}
=lim[n→∞]Σ(1/n)log(1+i/n)　←シグマの下は「i=1」、上は「n」
=∫log(1+x)dx　←∫は、下に0、上に1
=log2

より、2というのじゃ駄目なのかな

回答No.2

endlessriver

lim[n→∞](1/n){(n+1)(n+2)…(n+n)}^(1/n)
のようです。でないと発散の証明は簡単です。

計算しましたがとっても大変。以下、記述がとっても大変なので、間違ってたらゴメン。
１．(1/n){(n+1)(n+2)…(n+n)}^(1/n)
　　=(1/n){(2n)!/n!}^(1/n)
　　=[ {(2n)!}^(1/n) ]/(n・n) / [ { (n!)^(1/n) } / n ]

となり、{(n!)^(1/n)}/n→1/e を使います（分子）。
すると分母は
[ {(2n)!}^(1/n) ]/(n・n)=( { [ {(2n)!}^{1/(2n)} ]/(2n) }^2 ) ・ 4 → 4・(1/e)^2
これで解が得られる。

２．{(n!)^(1/n)}/n→1/eの証明
lim[n→∞]an=a のときlim[n→∞](a1・a2・・・an)^(1/n)=aを使います。
{(n!)^(1/n)}/n={(n/n)^n} {((n-1)/n)^(n-1)} {((n-2)/(n-1))^(n-2)} ・・・ {(2/3)^2} {(1/2)^1}
a1={(n/n)^n}=1, an=((n-1)/n)^(n-1)=1/{1+(1/(n-1))}^(n-1) (n>1)とおく。すると
eの定義より、an→1/eとなる。すなわち、lim[n→∞](a1・a2・・・an)^(1/n)=1/e。

３．lim[n→∞]an=a のときlim[n→∞](a1・a2・・・an)^(1/n)=aの証明。
(Σak)/n→a と
{n/(Σ(1/ak)}≦(a1・a2・・・an)^(1/n)≦(Σak)/n
を使用。すると、右辺はaに収束。左辺も同様に(1/(1/a)=aに収束することが証明できる。ただし、このときはa=0のときの考慮が必要。

４．lim[n→∞]an=aのときlim[n→∞](Σak)/n=aの証明。
疲れました。略。
この証明はε-δ法でいろんな本に載ってるはず。

回答No.1

eatern27

＞答えは4/eです。

4/eではないんですけど、問題か何かを見間違えているのでしょうか？