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線形代数
Ａ＝ 1 -1 -1 1 1 3 0 2 -2 -2 3 -1 3 -2 -2 3 -1 2 -1 -2 3 -1 2 -2 -1 のジョルダン標準形を求めたいのですが、 最小多項式が(t+2)(t-1)(t-1)になるのはわかるのですが、 そこから固有値を使って、固有ベクトルと求めると、、、 よくわからなくなってしまいます。 （ベクトルが４つしか出てこない・・・・） こういうときはどうすればよいのでしょうか？ 宜しくお願いします。
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- reiman
- ベストアンサー率62% (102/163)
本を持込可を訂正、ここで述べた方法を使えば凡人でも5分でできてしまいます。そこで、次の用に訂正。 問題（Aの要素は実際に数値で与えられている) 9次の行列Aについて以下に答えよ。 （１）Aに相似なジョルダンJの標準形を示せ。 （２）P^-1AP=Jとなる行列Pを求めよ。 なお、この問題を解くにあたり貸与するノートパソコンを使ってもよい。 そのノートパソコンには ・行列間の加減乗除を行うプログラム ・行列の階数を求めるプログラム ・行列式を求めるプログラム ・連立方程式を求めるプログラム があり使ってもよい。 貸与するノートパソコンの中で自分でツールソフトを作って使ってもよい。 本・ノートの持ち込みは不可とし制限時間は９０分とする。 なお、貸与するノートパソコンはインターネットにつなげてはならない。 例えばJが ２１０００００００ ０２１００００００ ００２００００００ ０００２１００００ ００００２００００ ０００００２１００ ００００００２００ ０００００００１１ ００００００００１ となるという問題は行列論を理解していればPCを使って せいぜい１０分でできるでしょう。 理解していない人は２時間かけてもできないでしょう。
- reiman
- ベストアンサー率62% (102/163)
2次方程式の解を求めよ と言う問題に対して2つの解が等しくなるのは稀なので異なる場合だけ問題にすればよい に等しい回答のような気がします。 重解は点であり非重解は線であるように 対角可能行列は線であり対角化不可能行列は点ですから。 実際の演習で行列の次数が5次が限界と言われますが それは現在の既成概念にとらわれています。 これからはこのような演習や試験はPCを使って行われるでしょう。 そうなると8,9次ぐらいでもやすやすとできます。 問題（Aの要素は実際に数値で与えられている) 9次の行列Aについて以下に答えよ。 （１）Aに相似なジョルダンJの標準形を示せ。 （２）P^-1AP=Jとなる行列Pを求めよ。 なお、この問題を解くにあたりノートパソコンを使ってもよい。 使えるツールソフトは提供する ・行列の階数を求めるソフト ・行列式を求めるソフト ・連立方程式を求めるソフト のみである。 自分でツールソフトを作って使ってもよい。 本の持ち込みは可とし制限時間は3時間とする。 例えばJが ２１０００００００ ０２１００００００ ００２００００００ ０００２１００００ ００００２００００ ０００００２１００ ００００００２００ ０００００００１１ ００００００００１ となるという問題は行列論を理解していればPCを使って せいぜい３０分で出きるでしょう。 理解していない人は３時間かけてもできないでしょう。 ただし、天才は持ち込んだ本を読んで１.５時間で勉強して３０分で解けるでしょうが。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
この質問のような演習は、線型代数のテキストには必ずついているものですが、 決して、素早くミス無くジョルダン化の操作ができるように練習しよう！という 意図でつけてあるのではありません。そろばん塾じゃないんですから。 実際にやってみることによって、線型写像の構造定理としての、ジョルダン標準形 の成り立ちが理解できているか、自分で確認することが重要です。 ですから、パソコンのように質問者をプログラムすることには、あまり意義が無い。 何を勘違いしたから、標準化の操作が途中で頓挫したのか、発見してやり直すことが 理解につながるのだと思います。 間違われ易い点ですが、ジョルダン標準形は、九九のような応用上頻用する道具では ありません。むしろ、線型写像の性質を探るための、証明の道具であり、いわゆる 「存在定理」のひとつだと考えたほうが良い。 伝統的に、構成法を実際に示すことで存在証明とするので、勘違いされるのですが… この辺の事情は、シュミットの直交化やピカールの逐次近似とよく似ています。 やり方を知っていても、現実に手計算で標準化できるのは、せいぜい４次か５次が限界 ですから、手順に習熟してもしかたがないのです。手順の根拠を理解しているかどうか 確認するための演習です。
- mtaka_2007
- ベストアンサー率25% (20/78)
横レスで申し訳ございません。No.16です。arrysthmiaさんの言われることも分かります。『Linear Algebra done right』という本では、行列式は本質的でないと後ろのほうに置かれています。しかし、ジョルダン標準形の定理をエレガントに証明できても、実際に行列式を計算できなければ固有値も求めることができません。 ジョルダン標準形も、固有多項式と最小多項式から最終的に変換される形の候補が分かることもさりながら、実際に変換行列を計算できて納得できたほうがいいと思いますが。
- reiman
- ベストアンサー率62% (102/163)
数学は九九を覚えなくてもそんなことは計算機がやるからいいのだ というふうに聞こえます。 しかしNo.15は覚える内容はほとんど有りません。 1,2のツボだけをあたまにいれておけばよいのです。 九九よりもはるかに少ないしはるかに簡単デスね。 Jordanの形はrank((A-λE)のべき乗)で求める。 ジョルダン細胞Jxの変換行列成分は (A-λE)のその次数乗=0によって1つ求め 残りはそれに(A-λE)をかけていき芋ズル式に求める。 これだけです。 これだけ頭に有れば問題をとくときにすぐにNo.15に展開できます。 数学の公式も同じです 覚えてはいけません 最小限のツボだけを頭に入れて 使うときに構成するのです 問題ごとにすべて0知識から始め問題を解決することができる あなたのような才能の持ち主は稀なので 凡人はこうするしか有りません
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
＞ arrysthmia さんは ＞ 対角化可能でない行列は使われないので考えなくてよい ＞ Jordan化ソフトは頭のいい人が作るのでその人に任せればよい ＞ と言われていますが 無理な誤解への誘導が試みられていますが、全く違います。 No.14 のような手順を暗記して、忠実に計算作業を行うのは、 せいぜいパソコンの仕事であって、人間様の知的な仕事ではない。 ジョルダン標準形は、操作の順番を覚えて実行すれば、応用上便利に 使えるような代物ではなく、線型写像とはどんなものかを理解する ための過程に過ぎないから、「標準形を求めよ」といったツマラナイ 演習問題を解くにしても、ジョルダン標準形の存在はどのようにして 証明されるのか、ジョルダン胞や変換行列の各行は何を意味するのか を意識して、いちいち「頭を使う」のでなければ、演習を行う価値が 無い …と言っているのです。 この演習を通じ、計算マシンになるのではなくて、線型写像の理解を 深めるためには、No.1 補足のような勘違いの由来を発見しながら、 計算手順については、質問者自身が再構成してみることが重要だという ことです。そのための No.5 No.9 です。
- reiman
- ベストアンサー率62% (102/163)
arrysthmia さんは 対角化可能でない行列は使われないので考えなくてよい Jordan化ソフトは頭のいい人が作るのでその人に任せればよい と言われていますが 対角化不可能な行列は量子力学、制御工学で使います 頭のよい人に任せばよいのならば 数学の勉強をする必要が無いという文科系の人と同じ考えになる 誰かがやるからやらなくてもよい と考えるよりも 俺がやらなきゃ誰がやる 人のやったことなど信用できない という意気込みで生きていってほしいものですね mtaka_2007のやっている無駄が多いような気がします s=-2のとき (A-sI)x=0かつx≠0 を満たすxをβ1とする はOK s=1のとき [1] (A-sI)x=0 を満たすxのうち互いに独立なものをβ3,β4,β5とする [2] (A-sI)^2x=0かつ(A-sI)x≠0 を満たすxをβ2とする [3] β3=(A-sI)x とする [4] β1,β2,β3と独立になるようにβ4,β5を求める [5] (β1,β3,β2,β4,β5) を変換行列とする (β3とβ2の順番に注意,ネーミングが悪い) としているが [1]は不要 [2],[3]はOK [4]は無駄が多いので次のように修正 [4'] (A-sI)x=0 を満たすxのうちβ3と独立なものをβ4とし (β1,β2は(A-sI)x=0を満たさないので独立性を要求する必要はない) (A-sI)x=0 を満たすxのうちβ3,β4と独立なものをβ5とする [5]はOK なお、一般人はJordanの形も下三角行列にしているのはなれないので 上三角行列に変更した
- mtaka_2007
- ベストアンサー率25% (20/78)
何人の方が回答を寄せられたおられますが、具体的な解まで提示されていませんので、具体的な計算方法を提示したいと思います。 固有値はλ＝－2と1ですので、場合を分けて計算します。まずλ＝－2の場合ですが、（A+2I)*X=0を計算します。X=(x,y,z,v,w)（縦ベクトルです）とすると、解はβ1=(0,w,w,w,w,)となりますので、nullity=1です。λ＝－2は一重根ですので、解は１つで例えばw=1とすればβ1=（0,1,1,1,1）となります。 λ＝1の場合、（A-1I)*X=0の解を計算すると、X=(-z+v+w,-z+v+w,z,v,w)となりますので、nullity=3です。その解をβ3、β4、β5とします。さらに(A-1I)^2*X=0の解を計算すると、X=(-z+v+w,y,z,v,w)となりますので、nullity=4です。λ=－2のnullityと合わせれば５になりますので、これですべてです。この解をβ2とします。(A-1I)*β2=0とならないβ2を求めます。β2=(0,1,1,1,0)とすると、(A-1I)*β2=(-1,-1,-1,-1,-1)となります。これがβ3となります。あと、このβ1、β2、β3と線形独立となるように、β4とβ5を求めます。例えばβ4=(-1,-1,1,0,0)、β5=(0,0,1,0,1)とします。これらの縦ベクトルを並べると変換行列Tになります。 T=(0,0,-1,-1,0 1,1,-1,-1,0 1,1,-1,1,1 1,1,-1,0,0 1,0,-1,0,1) (Tの逆行列)*A*T= (-2,0,0,0,0 0,1,0,0,0 0,1,1,0,0 0,0,0,1,0 0,0,0,0,1) のジョルダン標準形になります。この方法が一番簡単と思います。どうしてこのように求めるかの理論は結構やっかいです。ネットで調べれば出ていると思います。 ちなみに、行列計算は逆行列を求めたり、掛けたりするので、このような5次の行列の場合、octaveというフリーソフトを使うと計算間違いがなく便利です。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
「この行列のジョルダン標準形を求めよ」は、演習としてよく出される課題ですが、 演習以外の場面で、具体的な行列のジョルダン標準形を求めたいことなど、滅多に ありません。応用の目的で、対角化不能な行列の固有値分解を考えることは、稀です。 効率的な計算がしたいなら、こういうバカチョンな作業は、パソコンにでもやらせて おけば十分。ソフトも流通しています。わざわざ人間が時間を使う意義はありません。 ジョルダン標準形の存在意義は、線形写像の構造の一般形が表現できることであって、 その成り立ちを理解することが大切なのです。作業手順を覚えることは、無意味です。
- reiman
- ベストアンサー率62% (102/163)
その都度頭を使うのは知的動力の無駄遣い思います。 そもそもジョルダン化プログラミングを作成する場合には不向きですね。 最初に独立な固有ベクトルを求めても 一般解法ではそれを使わないので 無駄なことをやっているのにすぎません。 実際、 １１００００ ０１１０００ ００１０００ ０００１１０ ００００１０ ０００００１ にジョルダン化する場合を考えてみてください。 《正方行列Ａのジョルダン標準形化手順≫ 【１】 行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。 【２】 ジョルダン標準形Ｊを求める。 ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。 同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。 固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（k:０以上の整数） としたときに ｑ［ｍ］＝ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］ がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。 これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。 ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k） 【３】 ジョルダン標準形化行列を構成する列ベクトルのうち 固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める。 並びの順にその構成要素を求めるので同一固有値においては 次数の大きいジョルダンセルの順にその構成要素を求める。 （Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０ であって この方法で既に求まっているｓの固有ベクトル群と互いに独立な ｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］を求める。 そして ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］ （ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２） とおく。 ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］ （並び順に注意） がその変換行列を構成する列ベクトルである。 このうちｘ［１］のみが固有値ｓの固有ベクトルである。 注： 既に固有値ｓの固有ベクトル ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が決定されている場合にはｘ［Ｎ］は ｘ［１］＝（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］ ，ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が互いに一次独立であるように決める。 【４】 すべての固有値、各固有値のすべてのジョルダンセルについて 求めた変換行列の成分を順番に並べて変換行列を構成し終了する。
お礼
reimanさん、何度も何度も回答ありがとうございます。 回答を参考に頑張ってみます。ありがとうございました。