線形代数に関する質問です。

質問

A=[ 3, 0, 2]
[-1, 1,-1]
[-1, 0, 0]
・Aの各固有値に属する固有空間の基底を求めよ。
・Aを対角化せよ。
という問題を解いていただきたいです。
私はAの固有値を求めた後に固有ベクトルを求めるところで固有ベクトルを2つしか求めることができず、基底が求まりませんでした。

回答No.6

arrysthmia

＞ 変数３で式１つなので自由度２ゆえ

こういう説明は、感心しない。
不用意に分かり易過ぎることは、
誤解と妄想の基にしかならない。
結果的には、それで合ってはいるのだが…

未知数 n 個、式 m 本で自由度が n-m になるのは、
式 m 本の連立方程式が階数 m である場合だけ。
m 連立方程式の階数 r は、r ≦ m の範囲にあり、
r = m となるのは特殊な場合にあたる。
m = 1 なら r = 1 しかないじゃん　…というのは、
そこまで解ってから言うこと。

そこまで解っている人なら、
このような質問はしないと思う。

回答No.5

info22

#2,#3です。
A#2の補足質問の回答

x+z=0
変数3で式１つなので自由度2ゆえ
x=c1,y=c2,z=-c1
とおける。
固有ベクトルv=c1[1,0,1]t+c2[0,1,0]
となるので
c1=1,c2=0とおけば 固有ベクトルv1=[1,0,1]t
c1=0,c2=1とおけば 固有ベクトルv2=[0,1,0]t
が出てきます。

お分かりでしょうか？

お礼

良く分かりました。

分かりやすい解説でしたので理解しやすかったです。

本当にありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

言われてみれば、
(0,1,0) が固有ベクトルの一つであることも、
(1,0,-1) とは一次独立であることも、
特に異論は無いでしょう？
こうゆうのは、ヤマカンで見つけられる
ほうがよいのですが…

何か探し方を、というのであれば、
x+z=0 を満たす (x,y,z) の中で、
既に見つけてある固有ベクトル (1,0,-1) に
直交するものでも探してみては、どうですか？
連立一次方程式を解くだけだし。

回答No.3

info22

#2です。
#A2で
>[1,-1/2,-1/2]
は
[1,-1/2,-1/2]t
の転記ミスです。

参考
次のURLの例題２に固有値が重複している場合の対角化の類似題がありますので参考になるかと思います。

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K115j.pdf

回答No.2

info22

>Aの固有値を求めた後に固有ベクトルを求めるところで固有ベクトルを2つしか求めることができず、基底が求まりませんでした。

やった途中計算の補足に書いて下さい。
どの固有ベクトルが求まって、どの固有ベクトルが求まっていないかがチェックできません。行き詰って分からない所を明確に書くようにしてくれないと的確なアドバイスができません。

なお、固有ベクトルは [ ]t を転置とすると
[1,0,-1]t,[0,1,0]t,[1,-1/2,-1/2]
などとなります。

補足

解答ありがとうございます。

固有値は2に対する固有ベクトルは求めることができましたが、固有値1に対する固有ベクトルを求める際に
x+z=0
となり、これより[1,0,-1]tが求まるのは分かるのですが、なぜ[0,1,0]tが求まるのかがわかりません。

回答No.1

arrysthmia

その行列の固有値は 1,1,2 (1 が重根) ですが、
2 に対する固有ベクトルが見つからないのですか？
1 に対する固有ベクトルが 1 個しか見つからない
のですか？

(x,y,z) が、個数値 1 の個数ベクトルになる
条件は、書き出してみると x+z=0 になります。
これは、xyz 空間内の平面ですから、
その中に、一次独立な 2 個のベクトルを採ることが
できますね。

全ての行列が対角化可能なわけではありませんが、
この行列は可能です。

補足

1に対する固有ベクトルが1つしかみつかりませんでした。

x+z=0まではわかるのですが、そこから2個のベクトルの取り出し方がわかりませんので、教えていただけませんか？