ジョルダン標準形の求め方が？

質問

僕の教科書は、三宅敏恒「線形代数学」なのですが、
ジョルダン標準形の求め方として、
（ｔE－A)の根から固有多項式を出し、それから最小多項式を求めています。
僕が思うには、ジョルダン標準形は、固有値を一般的に求めるためのものなので、
このやり方では、意味ないと思います。
実際には、どうやって、ジョルダン標準形を求めるのですか？
（行基本変形の繰り返しで、できるのでしょうか）

回答No.5

reiman · ベストアンサー

＞単に特性方程式を解けばいい　くらいに思っていました
定係数線形微分方程式はAをnxn行列,Bをnxm行列,x(t)を未知n次元列ベクトル,u(t)を既知m次元列ベクトル
x'(t)=Ax(t)+Bu(t)
と表される。
このときx(t)を変数変換することによってAをジョルダン化れば解が直ちに解が求まる。
これを解くときにラプラス変換をして解く場合も有るが
ジョルダン化がもっとも近道である。
nは通常10以下であるが多い場合には10以上になる。

＞重根の場合、もう１つ別の固有関数を見つけてこないといけないので、
単純にはいきませんね。
意味不明。

＞ジョルダン標準形で表わすことによって、重根の場合でも、もう１つの固有ベクトルが、機械的に出てくるということでしょうか？
意味不明。

＞５次以上の代数方程式は、代数的には解けない
という意味でしょうか？
関係ない。
例えば
固有多項式が(x-1)^4、最小多項式が(x-1)^2となった場合であっても
ジョルダンは

[1 1 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 1]
[0 0 0 1]

[1 1 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

のどちらなのか分からないということ。

お礼

具体的に示して頂き、ありがとうございました。
９月には、実際に　定係数線形微分方程式を行列で解く授業があります。
そこで、おっしゃる内容をよく理解しようと思います。

回答No.6

arrysthmia

＞ 単に特性を解けばいいくらいに

固有値を求めただけでは駄目だ…というのと、
対角化不可能な行列が存在する…というのが、
同じことの言い換えですになります。
そのための「ジョルダン標準形」です。

det (A - λE) = 0 を解くだけでなく、
rank (A - λE)~k が k によって
どう変わるか？を調べることで、
一般固有空間の構造が明らかになるのです。

固有値は近似値しか求まらなかったとしても。

お礼

＞rank (A - λE)~k が k によってどう変わるか？を調べる
線形変換TA：R^n →R^n　において、TA行列の固有ベクトルをv1,v2、、vn、
固有値をλ1,λ2、、λn とすると、
W~＝{ｖ∈R^n｜（λE－TA)^k ｖ＝０　　kは正の整数　｝
が、一般固有空間でしょうか？
rank (A - λE)~kについて、９月になったら先生に訊いてみます。
ありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

＞ ジョルダン標準形で表わすことによって何の利点があるのか？

一般固有空間の構造を場合分けすることによって、
線型写像とはナニモノか、どういう性質を持つのか
…を、定性的に考察することができると思います。
主に、線型写像に関する定理を証明するための道具です。

貴方が疑問を感じたように、具体的な行列のジョルダン標準形を
成分で求めるためには、代数方程式を解かねばなりませんから、
定量的には、次数が低かったり、たまたま幸運な場合以外には
近似解でしか扱えません。その意味では、
数学というより、工学の道具ということになります。

回答No.3

reiman

＞最小多項式を求めています。このやり方では、意味ないと思います。
これは正しい。
ジョルダン標準形から最小多項式は求まるが、
最小多項式からジョルダン標準形は一般には求まらない。
次数が低いときなど求まるときも有るが一般には求まらない。

＞ジョルダン標準形で表わすことによって何の利点があるのか？
定係数線形部分方程式を解く場合に極めて有用である。
これはアナログ現代制御（連続時間系現代制御）で使用される。
また、定係数線形差分方程式（漸化式）を解く場合にも有用である。
これはディジタル現代制御（離散時間系現代制御）で使用される。
ロボットやロケットの位置制御に使用される。

補足

＞定係数線形微分方程式を解く場合に極めて有用である
線形微分方程式を行列で解くのは、９月の１，２週に習います。
僕は、単に特性方程式を解けばいい　くらいに思っていましたが、
よく考えると、重根の場合、もう１つ別の固有関数を見つけてこないといけないので、
単純にはいきませんね。
もしかして、ジョルダン標準形で表わすことによって、
重根の場合でも、もう１つの固有ベクトルが、機械的に出てくるということ
でしょうか？

＞次数が低いときなど求まるときも有るが一般には求まらない
５次以上の代数方程式は、代数的には解けない
という意味でしょうか？

回答No.2

arrysthmia

行列 A を (P~-1) A P = J とジョルダン化するには、
一般固有空間の方程式 (A - λE)~k x = 0 を
スカラー λ とベクトル x の連立方程式として
解いて、λ(と k) から J を、x から P を
組み立てることになります。

その際、貴方が希望するように、
P から先に求めても、
No.1 にあるように常識的に
λ から求めていっても、
連立方程式から λ を消去するか
x を消去するかという
順番の違いに過ぎませんから、
どちらでもかまいません。
ただし、それは、どちらから攻めていっても
計算の内容は一緒だ ということでもあります。

掃き出し法のときのように、
変形途中の行列を睨みながら
基本変形を選んでいけるか？
と言えば、ほとんど無理でしょう。

例えば、二次元の回転行列を対角化
してみれば、P を直感で思いつくことは
不可能そうだ と実感できるハズです。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
ジョルダン化の全体像が掴めました。
＞ほとんど無理でしょう。
納得です。
実は、簡単な行列について、基本変形でPを求めようとして、無理だったので「基本変形の繰り返しで、できるのでしょうか？」
という疑問になったのです。
尚、二次元の回転行列の単純な対角化は、やったことがあり、
固有ベクトルが、たしか（１，i）と（１，-i）になりました。

回答No.1

reiman

《正方行列Ａのジョルダン標準形化手順≫

【１】
行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。

【２】
ジョルダン標準形Ｊを求める：
ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。
同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。
固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには
ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（k:０以上の整数）
としたときに
ｑ［ｍ］＝ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］
がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。
これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。
ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k）

【３】
ジョルダン標準形化行列を構成する列ベクトルのうち
固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める：
並びの順にその構成要素を求めるので同一固有値においては
次数の大きいジョルダンセルの順にその構成要素を求める。
（Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０
であって
この方法で既に求まっているｓの固有ベクトル群と互いに独立な
ｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］を求める。
そして
ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］　（ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２）
とおく。
ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］　（並び順に注意）
がその変換行列を構成する列ベクトルである。
このうちｘ［１］のみが固有値ｓの固有ベクトルである。
注：
既に固有値ｓの固有ベクトル
ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・
が決定されている場合にはｘ［Ｎ］は
ｘ［１］＝（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］　，ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・
が互いに一次独立であるように決める。

【４】
すべての固有値、各固有値のすべてのジョルダンセルについて
求めた変換行列の成分を順番に並べて変換行列を構成し終了する。

お礼

わかりやすい回答、ありがとうございます。
ただ、僕の疑問は、
＞行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。
その後云々ということは、ジョルダン標準形での表現は、単に形式的な意味しか持たない　
つまり、ジョルダン標準形で表わすことによって何の利点があるのか？
と思い、この質問をしたわけです。