線形代数の質問です

質問

問題が解けなくて困ってます(>_<)

１．行列Ａ＝|a+301 3a+303 6a+306|
　　　　　　　 |201 202 203 |
　　　　　　　 |101 102 103 |

　（１）Ａの行列式を求めよ。
　（２）Ａが逆行列を持つための条件を求めよ。

２．行列Ａ＝|1 1 0|
　　　　　　　 |2 -2 1|
　　　　　　　 |4 -2 3|

Ａの固有多項式を求め、固有値をすべて求めよ。また、それぞれの固有値について固有ベクトルを一つずつ求めよ。

途中までは自力で解いたのですが、答えまで導けずにいます。
どれか一つだけでも構わないので、どうかよろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>途中までは自力で解いたのですが
やったところまでの解答を自力解答を補足に書いた上で、
行き詰まっている所を質問するようにして下さい。

１．
（１）
行列式|Ａ|＝
|a+301, 3a+303, 6a+306|
| 201 , 202 , 203 |
| 101 , 102 , 103 |
=
|a-1, 3a-1, 6a |
|100, 100, 100 |
|101, 102, 103 |
=
|a-1, 3a-1, 6a |
|100, 100, 100 |
|　1, 2, 3 |
=100×
|a-1, 3a-1, 6a |
| 1, 1, 1 |
| 1, 2, 3 |
=100×
|a-1, 3a-1, 6a |
| 1, 1, 1 |
| -1, 0, 1 |
=100×
| a, 3a, 6a+1|
| 1, 1, 1 |
|-1, 0, 1 |
=100×
| a, 3a, 6a+1|
| 0, 1, 2 |
|-1, 0, 1 |
=100×
| a, 3a, 6a+1|
| 0, 1, 2 |
|-1, 0, 1 |
=100×
| a, 3a, 7a+1|
| 0, 1, 2 |
|-1, 0, 0 |
=-100×
| a, 3a, 7a+1|
| 0, 1, 2 |
| 1, 0, 0 |
=-100×
|3a, 7a+1|
| 1, 2 |
=-100{6a-(7a+1)}=100(a+1)

(２）
Ａが逆行列を持つための条件は
|Ａ|＝100(a+1)≠0
a≠-1

[検証] a≠-1のとき、実際に逆行列を計算すると
Ａ^-1=[1/{100(a+1)}]×
[ 100, 3(101a+1),-3(201a+101)]
[-200,-(503a-97), (1003a+403 ]
[ 100, 3(67a-33),-(401a+101) ]
と求まります。

２．
行列Ａ＝
[1, 1,0]
[2,-2,1]
[4,-2,3]
の固有多項式＝
|1-t, 1 , 0 |
| 2,-2-t, 1 |
| 4, -2 ,3-t|
=-(t-3)(t-1)(t+2)=0
∴t=3,1,-2 ←　3個の固有値

固有ベクトルを求め方はどの教科書に載っているはずですから
復習してみて下さい。
固有ベクトルを求めると
t=3の時　(1,2,8)
t=1の時　(1,0,-2)
t=-2の時　(1,-3,-2)
となります。

分からない時は、補足に途中計算を書いてどこが分からないか質問して下さい。

お礼

丁寧に途中計算まで書いていただいて、本当にありがとうございました。
もう一度やりなおして、計算してみます。

今度分からない問題を質問するときは気をつけて書きます！

回答No.4

151A48

訂正
♯２です。
２．　固有方程式の中で，１＋λとあるのは２＋λの間違いでした。すみません。

お礼

わざわざ訂正までしていただいて、ありがとうございました！
大変助かりました！！

回答No.2

151A48

1. 行列式を
a 3a 6a
201 202 203
101 102 103

と

301 303 306
201 202 203
101 102 103

の和にできます。１項目の行列式のaはくくり出せます。
あとはSarrusの公式で強引にだしてもよいでしょうし，うまく変形すれば少しは簡単になります。
100a+100

2. 固有方程式は
(1-λ)(1+λ)(3-λ)=0
です。

お礼

ありがとうございます！
いきなり2行と3行を計算して簡単にしようとしていました(>_<)
教えていただいたら納得しました。
とても助かりました！！

回答No.1

alwen25

３次以上の行列式は余因子展開で計算する。
線形代数の本には必ず書いてあるはずです。