ジョルダン標準形の作り方

質問

固有ベクトルを求めずに、固有値だけでジョルダン標準形を求めるやり方を教えて下さい。
自分のやり方の間違っている点や不十分なところを指摘して下さい。

例題
A=
[2 0 -1]
[-2 3 2 ]
[1 0 0]
のジョルダン標準形を求めなさい。

解法
(1)固有多項式で固有値を求める。
固有多項式Ψ(λ)=(λ-3)(λ-1)^2
λ=1(重解)、3

(2)それぞれの固有値におけるジョルダン細胞の個数を求める。
「1つの固有値に対する互いに独立な固有ベクトルの本数(固有空間の次元数)は、その固有値に対するジョルダン細胞の個数に等しい」ので、
つまり、固有空間の次元数=dim(A-λE)=n-rank(A-λE)=ジョルダン細胞数なので、
λ=3の時、
rank(A-3E)=2
dim(A-3E)=3-2=1
λ=1に対して、ジョルダン細胞1つ。

λ=1について
rank(A-E)=2
dim(A-E)=3-2=1
よってλ=1に対して、
ジョルダン細胞1つ。

(3)次にジョルダン細胞の次数を求める。
(A-3E)(A-E)≠0
(A-3E)(A-E)^2=0
より、最小多項式は
(λ-3)(λ-1)^2なので、
λ=3のジョルダン細胞の次数は1
λ=1のジョルダン細胞の次数は2

よってJ=J(3,1)➕J(1,2)
(➕は、＋の丸囲み)
J=
[3 0 0]
[0 1 1]
[0 0 1]

一応、答えは出ました。これで間違いないですか？
しかし、私のやり方では、(3)でわざわざ、
(A-3E)(A-E)^2を計算しなくてはいけません。
これがけっこう面倒です。

そうではなく、最小多項式を求めなくてもいいやり方を教えてほしいのです。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(2)の時点で、J=J(3,1)+J(1,2) と判明しているね。
今回、最小多項式は求める必要が無いし、
A のジョルダン標準形の内容によっては、
固有多項式と最小多項式を求めただけでは
ジョルダン胞の構成は決定できない。

固有方程式の n 重根 λ については、
k = 1,2,…,n 各次の一般固有空間 W_k = { x | (A-λE)^k x = 0 }
の次元を全て求めれば、ジョルダン標準形が決まる。
W_k の次元が、k 次以上のジョルダン胞の個数になっているから。
(もちろん、今回のように、一部省略できる場合もある。)