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線形代数
Ａ＝ 1 -1 -1 1 1 3 0 2 -2 -2 3 -1 3 -2 -2 3 -1 2 -1 -2 3 -1 2 -2 -1 のジョルダン標準形を求めたいのですが、 最小多項式が(t+2)(t-1)(t-1)になるのはわかるのですが、 そこから固有値を使って、固有ベクトルと求めると、、、 よくわからなくなってしまいます。 （ベクトルが４つしか出てこない・・・・） こういうときはどうすればよいのでしょうか？ 宜しくお願いします。
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- arrysthmia
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No.9 の方法は、少し頭を使えば、容易に一般化できます。 固有値分解は、成分計算を中心に考えるよりも、 線形写像の定義域を一般固有空間に直和分解するのだ と捉えたほうが、見通しが良いと思います。
- reiman
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また書き間違いミス：２→１，１→２ （１）ｓ＝－２について １個の固有ベクトルが求まるのでそれを変換行列の構成に使えばよい 一般性のため敢えて３）の手順を使うと （Ａ－ｓＥ）Ｘ＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾０Ｘ≠０ つまり （Ａ－ｓＥ）Ｘ＝０かつＸ≠０ となるベクトルＸを求める。 明らかにＸは単なる固有ベクトルなので前述と同じことである。 （２）ｓ＝１について ２次，１次，１次 ３つのジョルダンセルがあるのでそれらをそれぞれＪ，Ｋ，Ｌとおく。 （ｉ）Ｊについて （Ａ－ｓＥ）＾２Ｘ＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾１Ｘ≠０ を満たすＸを求めｘとすると Ｘ［１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ，Ｘ［２］＝ｘ がＪに対する変換行列の要素たる列ベクトルセット。 Ｘ［１］は固有ベクトルである。 （ｉｉ）Ｋについて （Ａ－ｓＥ）＾１Ｘ＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾０Ｘ≠０ を満たし かつ既にもとまっている 固有ベクトル（ｉ）のｘ［１］と独立な Ｘを求めｘとすると Ｘ［１］＝ｘがＫに対する変換行列の要素たる列ベクトル。 （ｉｉｉ）Ｌについて （Ａ－ｓＥ）＾１Ｘ＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾０Ｘ≠０ を満たし かつ既にもとまっている 固有ベクトル（ｉ）のｘ［１］，（ｉｉ）のｘ［１］と互いに独立な Ｘを求めｘとすると Ｘ［１］＝ｘがＬに対する変換行列の要素たる列ベクトル。
- reiman
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どんな行列で有ってもジョルダンにできなければならない。 arrysthmiaさんの方法でいいのですが一般性が見えにくいので 一般性ずばりの３）に沿って説明すると （１）ｓ＝－２について １個の固有ベクトルが求まるのでそれを変換行列の構成に使えばよい 一般性のため敢えて３）の手順を使うと （Ａ－ｓＥ）Ｘ＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾０Ｘ≠０ つまり （Ａ－ｓＥ）Ｘ＝０かつＸ≠０ となるベクトルＸを求める。 明らかにＸは単なる固有ベクトルなので前述と同じことである。 （２）ｓ＝１について ２次，１次，１次 ３つのジョルダンセルがあるのでそれらをそれぞれＪ，Ｋ，Ｌとおく。 （ｉ）Ｊについて （Ａ－ｓＥ）＾２Ｘ＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾１Ｘ≠０ を満たすＸを求めｘとすると Ｘ［１］＝ｘ，Ｘ［２］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ がＪに対する変換行列の要素たる列ベクトルセット。 Ｘ［２］は固有ベクトルである。 （ｉｉ）Ｋについて （Ａ－ｓＥ）＾１Ｘ＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾０Ｘ≠０ を満たし かつ既にもとまっている 固有ベクトル（ｉ）のｘ［２］と独立な Ｘを求めｘとすると Ｘ［１］＝ｘがＪに対する変換行列の要素たる列ベクトル。 （ｉｉｉ）Ｌについて （Ａ－ｓＥ）＾１Ｘ＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾０Ｘ≠０ を満たし かつ既にもとまっている 固有ベクトル（ｉ）のｘ［２］、（ｉｉ）のｘ［１］と互いに独立な Ｘを求めｘとすると Ｘ［１］＝ｘがＪに対する変換行列の要素たる列ベクトル。
- arrysthmia
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No.5 の続き： Ａ の固有値 1 に対する固有ベクトル空間の一組の基底を { a, b, c } と置きます。 固有ベクトルが３個見つかったんでしたね？ 基底は、正規直交基底でなくて構いません。 一般固有方程式 (Ａ－Ｅ)^k x = 0 (k≧2) を考えると、 x = a, b, c は、この式の解になっています。(代入すれば、確認できます。) この式の解は、固有値 1 の重複度が 4 であることから、4 次元部分空間をなします。 その 4 次元空間内で、a, b, c とは一次独立なベクトルを任意に１個とり、d と置きます。 ベクトル (Ａ－Ｅ)d は、Ａ の固有値 1 に対する固有ベクトルのひとつですが、 a, b, c のどれかに一致するとは限りません。このことが、No.1 補足で、方程式 (A - λI) y = x に解が無かった理由です。 1 に対する固有空間の基底を、(Ａ－Ｅ)d を含むもの、例えば { (Ａ－Ｅ)d, a, b } とかに取り替え、 変換行列の列ベクトルには、(Ａ－Ｅ)d, d, a, b を並べればよい。
- reiman
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１箇所まちがえたので修正： ｑ［１］＝ｒ［２］－ｒ［３］＝０→ｑ［２］＝ｒ［２］－ｒ［３］＝０ 正方行列Ａのジョルダン標準形化手順 １） 行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。 ２） ジョルダン標準形Ｊを求める。 ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。 同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。 固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（k:０以上の整数） としたときに ｑ［ｍ］＝ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］ がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。 これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。 ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k） ３） ジョルダン標準形化行列を構成する列ベクトルのうち 固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める。 並びの順にその構成要素を求めるので同一固有値においては 次数の大きいジョルダンセルの順にその構成要素を求める。 （Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０ なるｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］を求める。 そして ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］ （ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２） とおく。 ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］ （並び順に注意） がその変換行列を構成する列ベクトルである。 このうちｘ［１］のみが固有値ｓの固有ベクトルである。 既に固有値ｓの固有ベクトル ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が決定されている場合にはｘ［Ｎ］は ｘ［１］＝（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］ ，ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が互いに一次独立であるように決める。 ４） すべての固有値、各固有値のすべてのジョルダンセルについて 求めた変換行列の成分を順番に並べて変換行列を構成し終了する。 ＜今回の場合＞ １） 行列次数：ｎ＝5 固有値：ｓ＝－２（重複度１）s＝１（重複度４） ２） なお、 最小多項式が（ｔ＋２）（ｔ－１）＾２になる かつＡの次数が５ と言う情報からだけでは ジョルダンの標準形は －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ かも知れないし －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１１ ００００１ かも知れないし －２ ００００ ０－２０００ ０ ０１１０ ０ ００１０ ０ ０００１ かも知れないし －２ ０ ０００ ０－２ ０００ ０ ０－２００ ０ ０ ０１１ ０ ０ ００１ かも知れない。 一方 固有多項式が（ｔ＋２）（ｔ－１）＾４になる かつ最小多項式が（ｔ＋２）（ｔ－１）＾２になる という情報からは ジョルダンの標準形は ジョルダンセルの並びが異なるものを区別しなければ －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ か －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１１ ００００１ の２通りに絞られる。 したがって最小多項式を使うのはあまり利口とは言えない 今回の場合 １）の情報 行列次数：ｎ＝5 固有値：ｓ＝－２（重複度１）s＝１（重複度４） と独立固有ベクトルの数が４と言う情報があれば一気に ジョルダンの標準形が －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ に決定される。 つまり杓子定規に２）のステップを使う必要はない。 しかしもっと大きな行列の場合はそうはいかない。 ステップ２）はどんな場合でもジョルダンの標準形を決定できる そこで今回の場合はまわりくどくなるが敢えて２）のステップを適用すると 固有値ｓ＝－２に関しては ｒ［０］＝５ ｒ［１］＝４ ｒ［２］＝４ なので ｑ［０］＝ｒ［０］－ｒ［１］＝１ ｑ［１］＝ｒ［１］－ｒ［２］＝０ となり １次以上のジョルダンセルの数が１であり ２次以上のジョルダンセルの数が０であり ジョルダンセルは次数１のものが１個しかないことが分かる 固有値ｓ＝１に関しては ｒ［０］＝５ ｒ［１］＝２ ｒ［２］＝１ ｒ［３］＝１ なので ｑ［０］＝ｒ［０］－ｒ［１］＝３ ｑ［１］＝ｒ［１］－ｒ［２］＝１ ｑ［２］＝ｒ［２］－ｒ［３］＝０ となり １次以上のジョルダンセルの数が３であり ２次以上のジョルダンセルの数が１であり ３次以上のジョルダンセルの数が０であり ジョルダンセルは 次数１のものが２個であり 次数２のものが１個であることが分かる ３）はクライマックスなので 解く喜びを奪わないために書かないが ３）の結果を補則にあなたが書けば コメントすることはやぶさかでありません。
- reiman
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正方行列Ａのジョルダン標準形化手順 １） 行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。 ２） ジョルダン標準形Ｊを求める。 ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。 同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。 固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（k:０以上の整数） としたときに ｑ［ｍ］＝ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］ がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。 これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。 ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k） ３） ジョルダン標準形化行列を構成する列ベクトルのうち 固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める。 並びの順にその構成要素を求めるので同一固有値においては 次数の大きいジョルダンセルの順にその構成要素を求める。 （Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０ なるｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］を求める。 そして ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］ （ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２） とおく。 ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］ （並び順に注意） がその変換行列を構成する列ベクトルである。 このうちｘ［１］のみが固有値ｓの固有ベクトルである。 既に固有値ｓの固有ベクトル ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が決定されている場合にはｘ［Ｎ］は ｘ［１］＝（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］ ，ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が互いに一次独立であるように決める。 ４） すべての固有値、各固有値のすべてのジョルダンセルについて 求めた変換行列の成分を順番に並べて変換行列を構成し終了する。 ＜今回の場合＞ １） 行列次数：ｎ＝5 固有値：ｓ＝－２（重複度１）s＝１（重複度４） ２） なお、 最小多項式が（ｔ＋２）（ｔ－１）＾２になる かつＡの次数が５ と言う情報からだけでは ジョルダンの標準形は －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ かも知れないし －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１１ ００００１ かも知れないし －２ ００００ ０－２０００ ０ ０１１０ ０ ００１０ ０ ０００１ かも知れないし －２ ０ ０００ ０－２ ０００ ０ ０－２００ ０ ０ ０１１ ０ ０ ００１ かも知れない。 一方 固有多項式が（ｔ＋２）（ｔ－１）＾４になる かつ最小多項式が（ｔ＋２）（ｔ－１）＾２になる という情報からは ジョルダンの標準形は ジョルダンセルの並びが異なるものを区別しなければ －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ か －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１１ ００００１ の２通りに絞られる。 したがって最小多項式を使うのはあまり利口とは言えない 今回の場合 １）の情報 行列次数：ｎ＝5 固有値：ｓ＝－２（重複度１）s＝１（重複度４） と独立固有ベクトルの数が４と言う情報があれば一気に ジョルダンの標準形が －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ に決定される。 つまり杓子定規に２）のステップを使う必要はない。 しかしもっと大きな行列の場合はそうはいかない。 ステップ２）はどんな場合でもジョルダンの標準形を決定できる そこで今回の場合はまわりくどくなるが敢えて２）のステップを適用すると 固有値ｓ＝－２に関しては ｒ［０］＝５ ｒ［１］＝４ ｒ［２］＝４ なので ｑ［０］＝ｒ［０］－ｒ［１］＝１ ｑ［１］＝ｒ［１］－ｒ［２］＝０ となり １次以上のジョルダンセルの数が１であり ２次以上のジョルダンセルの数が０であり ジョルダンセルは次数１のものが１個しかないことが分かる 固有値ｓ＝１に関しては ｒ［０］＝５ ｒ［１］＝２ ｒ［２］＝１ ｒ［３］＝１ なので ｑ［０］＝ｒ［０］－ｒ［１］＝３ ｑ［１］＝ｒ［１］－ｒ［２］＝１ ｑ［１］＝ｒ［２］－ｒ［３］＝０ となり １次以上のジョルダンセルの数が３であり ２次以上のジョルダンセルの数が１であり ３次以上のジョルダンセルの数が０であり ジョルダンセルは 次数１のものが２個であり 次数２のものが１個であることが分かる ３）はクライマックスなので 解く喜びを奪わないために書かないが ３）の結果を補則にあなたが書けば コメントすることはやぶさかでありません。
- reiman
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正方行列Ａのジョルダン標準形化手順 １） 行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。 ２） ジョルダン標準形Ｊを求める。 ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。 同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。 固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（k:０以上の整数） としたときに ｑ［ｍ］＝ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］ がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。 これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。 ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k） ３） ジョルダン標準形化行列を構成する列ベクトルのうち 固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める。 並びの順にその構成要素を求めるので同一固有値においては 次数の大きいジョルダンセルの順にその構成要素を求める。 （Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０ なるｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］を求める。 そして ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］ （ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２） とおく。 ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］ （並び順に注意） がその変換行列を構成する列ベクトルである。 このうちｘ［１］のみが固有値ｓの固有ベクトルである。 既に固有値ｓの固有ベクトル ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が決定されている場合にはｘ［Ｎ］は ｘ［１］＝（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］ ，ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が互いに一次独立であるように決める。 ４） すべての固有値、各固有値のすべてのジョルダンセルについて 求めた変換行列の成分を順番に並べて変換行列を構成し終了する。 ＜今回の場合＞ １） 行列次数：ｎ＝5 固有値：ｓ＝－２（重複度１）s＝１（重複度４） ２） なお、 最小多項式が（ｔ＋２）（ｔ－１）＾２になる かつＡの次数が５ と言う情報からだけでは ジョルダンの標準形は －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ かも知れないし －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１１ ００００１ かも知れないし －２ ００００ ０－２０００ ０ ０１１０ ０ ００１０ ０ ０００１ かも知れないし －２ ０ ０００ ０－２ ０００ ０ ０－２００ ０ ０ ０１１ ０ ０ ００１ かも知れない。 一方 固有多項式が（ｔ＋２）（ｔ－１）＾４になる かつ最小多項式が（ｔ＋２）（ｔ－１）＾２になる という情報からは ジョルダンの標準形は ジョルダンセルの並びが異なるものを区別しなければ －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ か －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１１ ００００１ の２通りに絞られる。 したがって最小多項式を使うのはあまり利口とは言えない 今回の場合 １）の情報 行列次数：ｎ＝5 固有値：ｓ＝－２（重複度１）s＝１（重複度４） と独立固有ベクトルの数が４と言う情報があれば一気に ジョルダンの標準形が －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ に決定される。 つまり杓子定規に２）のステップを使う必要はない。 しかしもっと大きな行列の場合はそうはいかない。 ステップ２）はどんな場合でもジョルダンの標準形を決定できる そこで今回の場合はまわりくどくなるが敢えて２）のステップを適用すると 固有値ｓ＝－２に関しては ｒ［０］＝５ ｒ［１］＝４ ｒ［２］＝４ なので ｑ［０］＝ｒ［０］－ｒ［１］＝１ ｑ［１］＝ｒ［１］－ｒ［２］＝０ となり １次以上のジョルダンセルの数が１であり ２次以上のジョルダンセルの数が０であり ジョルダンセルは次数１のものが１個しかないことが分かる 固有値ｓ＝１に関しては ｒ［０］＝５ ｒ［１］＝２ ｒ［２］＝１ なので ｑ［０］＝ｒ［０］－ｒ［１］＝３ ｑ［１］＝ｒ［１］－ｒ［２］＝１ となり １次以上のジョルダンセルの数が３であり ２次以上のジョルダンセルの数が１であり ジョルダンセルは 次数１のものが２個であり 次数２のものが１個であることが分かる ３）はクライマックスなので 解く喜びを奪わないために書かないが ３）の結果を補則にあなたが書けば コメントすることはやぶさかでありません。
- arrysthmia
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最小多項式が重根を持つ場合は、ジョルダン標準形は対角行列になりませんから、 固有ベクトルを並べて変換行列を作ろうとすれば、固有ベクトルが足りません。 その場合、(Ａ－λＥ) x = 0 の解である固有ベクトルの替わりに、 (Ａ－λＥ)^k x = 0 の解である一般固有ベクトルを並べて変換行列にすれば、 ジョルダン標準形へ変換することができます。 k を十分大きくすれば、重複度 n の固有値に対して n 個の一次独立な 一般固有ベクトルが求められますが、λ が最小多項式の m 重根であれば、 k = m までで十分です。 この問題の場合、(Ａ－Ｅ)^2 x = 0 を解けば、第５のベクトルが求まります。 この x は４次元の解になりますから、その中から、既に求まっている固有値 1 の 固有ベクトル３個とは、一次独立なものをひとつ取りましょう。
- reiman
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書きもらしていた最終だ手順を追加します。 ４） すべての固有値、各固有値のすべてのジョルダンセルについて 求めた変換行列の成分を順番に並べて変換行列を構成し終了する。
- reiman
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あなたの言うことを信用すると 固有値-2に対する固有ベクトルが1つ 固有値1に対する固有ベクトルが3つデスね？ それが本当だとするとJordan標準形は －２００００ ０１１００ ００１００ ０００１０ ００００１ です。 以下、私の考案したJordan化方法を示します。 正方行列Ａのジョルダン標準形化手順 １） 行列Ａの次数、固有値すべて、固有値の重複度すべてを求める。 ＜今回の場合＞ 行列次数：ｎ＝5 固有値：ｓ＝－２（重複度１）s＝１（重複度４） ２） ジョルダン標準形Ｊを求める。 ジョルダン標準形においてジョルダンセルを固有値ごとに並べる。 同一固有値に対するジョルダンセルは次数の大きい順に並べる。 固有値ｓに対するジョルダンセルを求めるには ｒ［ｋ］＝ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾ｋ）（k:０以上の整数） としたときに ｑ［ｍ］＝ｒ［ｍ－１］－ｒ［ｍ］ がｍ次以上のジョルダンセルの数であることを使う。 これは次の式から簡単に導かれるので覚える必要はない。 ｒａｎｋ（（Ａ－ｓＥ）＾k）＝ｒａｎｋ（（Ｊ－ｓＥ）＾k） ３） ジョルダン標準形化ベクトルを構成する列ベクトルのうち 固有値ｓかつＮ次ジョルダンセルに対するものを求める。 並びの順にその構成要素を求めるので同一固有値においては 次数の大きいジョルダンセルの順にその構成要素を求める。 （Ａ－ｓＥ）＾Ｎｘ［Ｎ］＝０かつ（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］≠０ なるｎ次元列ベクトルｘ［Ｎ］を求める。 そして ｘ［ｋ－１］＝（Ａ－ｓＥ）ｘ［ｋ］ （ｋ＝Ｎ，Ｎ－１，Ｎ－２，・・・，２） とおく。 ｘ［１］，ｘ［２］，・・・，ｘ［Ｎ］ （並び順に注意） がその変換行列を構成する列ベクトルである。 このうちｘ［１］のみが固有値ｓの固有ベクトルである。 既に固有値ｓの固有ベクトル ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が決定されている場合にはｘ［Ｎ］は ｘ［１］＝（Ａ－ｓＥ）＾（Ｎ－１）ｘ［Ｎ］ ，ｘ’［１］，ｘ”［１］，・・・ が互いに一次独立であるように決める。
お礼
了解しました。 アドバイスありがとうございます。