線形代数

質問

この行列なのですが固有値を求めることはできたのですがそのあとができないのでお願い致します。この正方行列のジョルダン標準形を求めてください。固有値は2の3重解です

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回答No.1

f272 · ベストアンサー

元の行列をA，単位行列をIとして，Aの固有値は2(3重根)である。任意のベクトルx3を選んで
(A-2I)x3=x2
(A-2I)x2=x1
となれば(ただしx1，x2，x3は一次独立で，0でない)，P=[x1 x2 x3]を使ってP^(-1) A Pでジョルダン標準形がもとまるが，この例の場合にはそれは不可能である。したがって，任意のベクトルx3を選んで
(A-2I)x3=x2
(A-2I)x2=0
(A-2I)x1=0
とする(ただしx1，x2，x3は一次独立で，0でない)。このときP=[x1 x2 x3]を使ってP^(-1) A Pでジョルダン標準形がもとまる。
x3=(0 1 0)^Tとすれば
x2=(1 1 1)^Tとなり，x1はAの固有ベクトルの1つとすれば十分であるのでx1=(0 0 1)^Tとする。
P^(-1) A P = [2 0 0 ; 0 2 1 ; 0 0 2]

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