ベストアンサー 線形代数 2020/08/08 14:43 この行列なのですが固有値を求めることはできたのですがそのあとができないのでお願い致します。この正方行列のジョルダン標準形を求めてください。固有値は2の3重解です この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー f272 ベストアンサー率46% (8653/18507) 2020/08/08 16:17 回答No.1 元の行列をA，単位行列をIとして，Aの固有値は2(3重根)である。任意のベクトルx3を選んで (A-2I)x3=x2 (A-2I)x2=x1 となれば(ただしx1，x2，x3は一次独立で，0でない)，P=[x1 x2 x3]を使ってP^(-1) A Pでジョルダン標準形がもとまるが，この例の場合にはそれは不可能である。したがって，任意のベクトルx3を選んで (A-2I)x3=x2 (A-2I)x2=0 (A-2I)x1=0 とする(ただしx1，x2，x3は一次独立で，0でない)。このときP=[x1 x2 x3]を使ってP^(-1) A Pでジョルダン標準形がもとまる。 x3=(0 1 0)^Tとすれば x2=(1 1 1)^Tとなり，x1はAの固有ベクトルの1つとすれば十分であるのでx1=(0 0 1)^Tとする。 P^(-1) A P = [2 0 0 ; 0 2 1 ; 0 0 2] 質問者 お礼 2020/08/10 16:53 ありがとうございます 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 1 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 線形代数学の教科書 大学工学部の線形代数学の、問題が豊富で、その解説の詳しい参考書を探しています。線形代数ではありません。具体的にいうと面積・体積と行列式、行列式の計算、余因子行列とクラーメルの公式、固有値と固有ベクトル、正方行列と対角化、内積と転置行列、直行行列と実対称行列の対角化、二次形式の標準化、一般固有空間、ジョルダン標準形が載っているものです。 線形代数の問題です。またお願いします。 こんにちは。 独学で線形代数を勉強してしているものです。 今朝も質問させていただいたのですが、 その続きでまたつまずいてしまいました。。 /////////////////////////////////////////// 下記の行列をＡとして、 Ａ^(7) + 3Ａ^（6） + A＾（5） - A＾（4) +A＾(3) -Ａ^(2) +3Ａ を求めよ。 | -3 0 2 | Ａ＝ | -1 -2 -1 | | -2 0 2 | /////////////////////////////////////////// 今度こそ、対角化だと思うのですが 固有値λ＝－２（重解）、1 となって ジョルダンの標準形に直して 変換行列 | 0 -2/3 1 | Ｐ＝ | 1 1/3 -3 | | 0 -1/3 2 | となり | -2 1 0 | Ｐ^(-1)AP＝ | 0 -2 0 | | 0 0 1 | となりそうだというところまでは出来ましたが ここから進めなくなりました。 Ｐ^(-1)APを、対角行列Ｌと、１を１つ含む行列Ｎに分けて、 ２項定理 [ Ｐ^(-1)AP ]^(n) = Ｌ^(n) + n*Ｎ*L^(n-1) ※Ｎ^2はゼロ こんな感じで一般的な形にして、求めていくのかと思いましたが 行列が複雑になりすぎて、訳が分からなくなります。 変換行列やジョルダンの標準形を間違えているのか その後のｎ乗の計算がおかしいのか、 他のやり方があるのか、さっぱり分かりません。 どうぞ、力を貸していただけないでしょうか？ 宜しくお願いします。 線形代数 行列 対角化 対角化について質問させて頂きます。 対角化とは、 「正方行列を適当な線形変換により、もとの行列と同値な 対角行列に帰着させること。」 と説明がありました。 ここで、同値とは具体的にどのような内容を指すのでしょうか？ また、対角化を求める際、 正方行列Aに対してP^-1APとなる正則行列Pを求めます。 この正則行列Pは正方行列Aより求めた固有値に属する固有ベクトル を並べたものになりますが、これはなぜですか？ なぜ、固有ベクトルを並べたものが正則行列Pになるのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 代数学のジョルダン標準形の問題を教えて下さい この問題を教えて下さい。 3次複素正方行列Aの固有多項式が(t-1)^2(t-2)で、最少多項式(t-1)(t-2)である。 ジョルダン標準形は何かという問題です。 (1 0 0) (0 1 0) (0 0 2) であっているでしょうか。お願いいたします 線形代数 Ａ＝ 1 -1 -1 1 1 3 0 2 -2 -2 3 -1 3 -2 -2 3 -1 2 -1 -2 3 -1 2 -2 -1 のジョルダン標準形を求めたいのですが、 最小多項式が(t+2)(t-1)(t-1)になるのはわかるのですが、 そこから固有値を使って、固有ベクトルと求めると、、、 よくわからなくなってしまいます。 （ベクトルが４つしか出てこない・・・・） こういうときはどうすればよいのでしょうか？ 宜しくお願いします。 線形代数 固有値について 次の正方行列に対して（i）固有多項式を求めよ（ii）固有値を求めよ（iii）各固有値tについて固有空間Wを求めよ |7 12 0| |-2 -3 0| |2 4 1| | |は縦につながっていると考えてください（3次の正方行列です。） 固有ベクトル、固有値は出せました（固有値はt=1と3） t=3の固有空間も出せたのですが、解説をみるとt=1の時の固有空間は | -2 | | 0 | c1| 1 | +c2| 0 | となっていました。 | 0 | | 1 | t=1の時行列をどんどんと解いていくと最終的にx+2y=0というのが出てきました。 c1のやつが出てくるのはx+2y=0から分かるのですが、 ここで疑問に思ったのがなぜc2のやつが出てきたのかということです。 分かる方ぜひ理由を教えてください グラムシュミットとジョルダン標準形 ある行列を対角化するとき、固有値が重解の場合に、 固有ベクトルの求め方がこんがらがってしまいました。 グラムシュミットの正規直交化とジョルダン標準形の2つが出てくるのですが、 どのようなときにどちらを使うのか教えてください。 もしくはどちらも使うものなんでしょうか？ ジョルダン標準形を求めるときに、固有ベクトルを正規直交化すると うまくいかなかったりしたので… お願いします。 対角化 対称行列の対角化可能であるか証明せよ。 また、反例があるならそれを挙げよ。 という問題なのですが、固有多項式において、最小多項式が重解を持たなければ、ジョルダン標準系にならないから、対角化可能とか言えそうなのか？とか、でも、最小多項式が重解を持つと何故ジョルダン標準系になってしまうのかよく分かってないんだよなとか、右往左往したのですが、良い方法が思い付きません。 どなたか、何か良いアイデアはないでしょうか？ 5x5行列対角化 5次正方行列 A= 1 | -1 | 1 | 1 | -1 1 | 3 | -2 | -2 | 2 -1 | -1 | 0 | 0 | 1 -1 | -1 | -2 | 2 | 1 -2 | -2 | -4 | 0 | 4 固有値=2(五重根) ジョルダン標準形に変換する行列Pを求めて下さい。 J=P^(-1)AP にするPです。 行列の固有ベクトル (n*n)行列の固有値、固有ベクトルを求める過程で、 固有値が重解になるものの扱い方がよくわかりません。 独立な固有ベクトルがn個求められればよいのですが、 固有ベクトルがn個存在しない場合もあるのでしょうか？ また、そういう行列は対角化できないので 代わりにジョルダン標準形にする、 と考えていいのでしょうか？ どなたか教えてください。よろしくお願いします。 線形代数 どなたか解答よろしくお願いします！！ ２次曲線2x^2+2√(3xy) +4y^2=5について (1)係数行列の固有値と対応する固有ベクトルを求めよ (2)直交変換を行って標準形を求めよ あつがましいですが、ヒントではなく解答でお願いします。 線形代数の問題です 4次正方行列A＝ 3 -2 -2 2 3 -2 -3 3 5 -5 -4 5 5 -5 -4 5 ただし、Iは４次単位行列。 (1)行列I-Aの階数Rank(I-A)を求めよ。 (2)I-Aの定める線形写像を f:R4→R4とする、f(x)=(I-A)x (x∈R4) このとき、fの核Kerfの次元dim(Kerf)を求めよ。 (3)Aの固有値をすべて求めよ。 (4)Aの各固有値に対する固有空間の次元を求めよ。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 線形代数 n次の正方行列A=aij,aij=a(i=j),1(i≠j)のときdetAを求めよという問題なのですが、どのようにしてｎ次の正方行列の行列式を求めればよいのかわかりません。どなたかお願いします。 線形代数の参考書について 線形代数の続論でジョルダン標準形をやっているのですが、最小多項式、巾零行列、ケーリー・ハミルトンの公式辺りがよくわかりません。 参考書で勉強しようと思っているのですが、大体の線形代数の参考書ではジョルダン標準形しか載っていません。 そこで上に挙げたような内容も含んだ参考書を探しているのですが、何かいいものがありましたら教えてください。 ジョルダン標準形の問題 A={[3,-1,1],[2,0,2], [1, -1,3]}のジョルダン標準形を求めようとしたのですが、固有値2が三重解となり、固有ベクトルを求めても標準形までたどり着けませんでした。どうすればよいでしょうか。 線形代数がわかりません・・・ 線形代数がわかりません・・・ A? = －A となる行列を歪エルミート行列という。 (1) 歪エルミート行列の固有値は全て純虚数であることを示せ。 (2) 歪エルミート行列の相異なる固有値に関する固有空間は互いに直交することを示せ。 (3) 歪エルミート行列はユニタリ行列で対角化できることを示せ。 がわかりません。。。おねがいします＞＜ 線形代数の問題で分からない問題があります。 次の2問を詳しく御願いします。 １．A=（aij)を(i,j)成分がaijである複素n次正方行列とし、tA=(ajiバー）を(i,j)成分がajiバー（ajiの複素共役）である複素n次正方行列とする。 (1)２つのx,y∈Cのn乗に対して （Ax,y)=(x,tAバーy)が成り立つことを示せ。ここに（x,y)は２つのベクトルx,y∈Cのn乗に対する標準内積を表す。 （２）A=tAバー（つまりＡはエルミート行列）とする。Ａの固有値αに対する固有空間｛ｖ∈Ｃのn乗|Av=αv}をV(α）で記す。このときＡが異なる実数の固有値α1,α2を持つとするとV(α1)⊥V(α2)が成り立つことを示せ。 ここにV(α1)⊥V(α2)とはどのようなx∈V(α1),y∈V(α2)に対しても(x,y)=0が成り立つことを意味する。（つまりV(α１）とＶ（α２）は直交する） 非常に見えづらくなってしまって本当に申し訳ないのですがよろしく御願いします。 線形代数 ｎ次の実正方行列C,Dに対して、CDの全ての固有値が必ずDCの固有値であることを示せ。 この問題をどのようにして解けばよいかまったくわからず、困っています。宜しくお願い致します。 線形代数の対角化の問題です。お願いします。 こんにちは。 独学で線形代数を勉強してしているものです。 早速ですが、力を貸していただけませんでしょうか・・・ /////////////////////////////////////////// 下記の行列をＡとして、Ａ^(-2)を求めよ。 | -3 0 2 | Ａ＝ | -1 -2 -1 | | -2 0 2 | /////////////////////////////////////////// という問題なのですが、解けません。。 まず、対角化が出来なくて困っています。 固有値は、λ=-2（重解）、1 の２つだと思うのですが、 固有値を-2としたとき、固有ベクトルｘを求めるにあたって、 Ｔｘ＝０ とするべきＴが、 | -1 0 2 | Ｔ＝ | -1 0 -1 | | -2 0 4 | となり、１行目と２行目で矛盾が生じてしまいます。 固有値の求め方が違うのでしょうか？全く分かりません。 また、対角化が出来たとしても、－２乗というのはどういう計算になるのやら さっぱり分かりません。 回答・解説の無い問題で困っています。 どうぞ宜しくお願いします。 線形代数について 次の行列のすべての固有値と、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルをひとつずつ求めよ。 （1）第１行が（1,2,2）、第２行（-2,5,2）、第３行が（1、-2,0）である行列 （2）（i,j）成分が｜i-j｜を2で割ったときの余りに等しい三次行列 という問題がわかりません。誰かわかる人がいたら教えてください。お願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
ありがとうございます