線形代数

質問

Ａ＝
1 -1 -1 1 1
3 0 2 -2 -2
3 -1 3 -2 -2
3 -1 2 -1 -2
3 -1 2 -2 -1
のジョルダン標準形を求めたいのですが、
最小多項式が(t+2)(t-1)(t-1)になるのはわかるのですが、
そこから固有値を使って、固有ベクトルと求めると、、、
よくわからなくなってしまいます。
（ベクトルが４つしか出てこない・・・・）
こういうときはどうすればよいのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.2

Tacosan

おお, 勘違いしてた. 最小多項式をそのようにかいてあるから, 固有値が 3個あるのかと思った. 実は -2 と 1 の 2個なのね.
重複度を調べるときは, 最小多項式じゃなくて固有多項式使わないとダメ.
で試してみると, -2 は 1重解で 1 が4重解か. これでベクトルが 4本しかないということは 1 の方で 1本足らないわけだから, この足らない分を何とかしないといけない. 1 に対応する固有ベクトル x のうちには (A-I)y = x であるような y が存在するものがあるんだけど, それは頑張ってみつける必要があります. 「どれでもいいから任意に選べばいい」というものではありません.

回答No.1

Tacosan

それぞれの固有値に対して固有ベクトルを求めます.
ベクトルが 4つしか出てこないということから, 3個の固有値のうちどれか 1つ「固有ベクトルの本数と固有値の重複度が違う」ものがあるはずです. そのような固有値を λ, それに対する固有ベクトルを x とおくと,
(A - λI)y = x
を満たすベクトル y が存在します. これをあたかも固有ベクトルであるかのように扱って「対角化」すれば OK. 固有ベクトルの順序を間違えなければジョルダン標準形が得られます.

補足

回答ありがとうございます。

具体的に計算過程を教えて頂けますでしょうか？
t=1のときは重複度が２で、固有ベクトルが３本となるのですが・・・
そのうちベクトルひとつをxとして
(A - λI)y = x
にして新たにyを求めようとすると解をもたないため、この方程式は解けないのです。