線形代数

質問

行列A=
［0, -2, 2 ］
［4, -3, -4］
［-1, -1, 3］
Aの最小固有値をαとすると(i),(ii),(iii)を満たす実ベクトルa=［a1,a2, 1］,b=［b1,b2,b3］
を求めよ。
(i)Aa=αa
(ii)Ab=αb+a
(iii)aとbは直交する。

この問題が分かりません。教えて下さい。

Aの固有値はλ=-1,2
λ=-1の時の固有ベクトル=［2,2,1］
ということは計算でわかったので、
α=-1,a=［2,2,1］まで出来ました。

しかし、この先、bを出すことができませんでした。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

#1です。なんだかおかしなことを書いていたようだ。
あらためてAb=αb+aを成分ごとに書いてみる。b=[x y z]^Tとすると
-2y+2z=-x+2，4x-3y-4z=-y+2，-x-y+3z=-z+1
これから
x-2y+2z=2，2x-y-2z=1，-x-y+4z=1
第2式から第3式を引けば3x-6z=0となりx=2z
これを第3式に代入すればy=2z-1
さらにaとbは直交するので，2x+2y+z=4z+4z-2+z=0が成り立ち，z=2/9と確定する。
したがってx=4/9，y=-5/9

お礼

分かりました。ありがとうございます。

回答No.1

f272

Ab=αb+a
の左からaの転置をかけると，aとbは直交するので
a^T Ab=a^t a=9
つまりb=[x y z]^Tとすると
7x-11y-z=9
2x+2y+z=0
これから
y=1としてx=2，z=3

補足

回答ありがとうございます。

何故最後にy=1にしたのですか？