線形代数の問題の解き方を教えてください。

質問

線形代数の問題の解き方を教えてください。

2次形式f(x1,x2)=x1^2 + 2x2^2 をベクトルX=(x1,x2)T および行列Aを用いてXTAXと表すものとする。

(1)Aを求めよ
(2)行列Aの固有値λ1,λ2 および固有ベクトルX1,X2を求めよ。ただしλ1>λ2とし、固有ベクトルは長さを１に正規化するものとする。
(3)f(X1,X2)を求めよ。
(4)f(X3)を求めよ。ただしX3=(1-α)X1+αX2,0≦α≦1とする。またf(X3)を最小とするαを求めよ。

という問題なのですが、簡単な線形代数しか学んでいないためわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

OKXavier · ベストアンサー

内容的には線形代数の初歩的なものばかりです。

>簡単な線形代数しか学んでいないためわかりません。
簡単な線形代数でも学んでいれば十分です。

もう一度本を読み返しましょう。
勉強のポイントは、
（１）「２次形式の行列表現」
（１）「固有値」と「固有ベクトル」
（２）ベクトルの「正規化」
です。

ヒント
（１）A＝(1,0)
　　　　　(0,2)

（２）|A-λE|=0 をλについて解く。

（３）f(x1,x2)=A[x1,x2]　　但し、[x1,x2]は列ベクトル。
（４）Ax=λx　の性質を使い計算する。

回答No.4

muturajcp

XT=Xの転置行列とする
f(x1,x2)=x1^2+2x2^2=((X)T)AX=
(x1,x2)
(1,0)(x1)
(0,2)(x2)

(1)
A=
(1,0)
(0,2)

(2)
|A-xE|=0
|1-x,0|=0
|0,2-x|
(1-x)(2-x)=0
x=1.or.x=2
AX1=2X1
(1,0)(X11)=(X11)=(2X11)
(0,2)(X12).(2X12)=(2X12)
X11=0
AX2=X2
(1,0)(X21)=(X21)=(X21)
(0,2)(X22).(2X22)=(X22)
X22=0
∴
λ1=2
λ2=1
X1=(0,1)T
X2=(1,0)T

(3)
f(X1,X2)=((X1,X2)T)A(X1,X2)
(0,1)(1,0)(0,1)=
(1,0)(0,2)(1,0)
(0,2)(0,1)
(1,0)(1,0)
∴
f(X1,X2)=
(2,0)
(0,1)

(4)
X3=(1-α)X1+αX2=(α,1-α)T
f(X3)=((X3)T)AX3=
(α,1-α)
(1,0)(α)
(0,2)(1-α)
=((α,2(1-α)),(α,1-α))=α^2+2(1-α)^2
=3α^2-4α+2
=3(α-2/3)^2+2/3

α=2/3 のとき f(X3)の 最小値2/3

お礼

回答してくださった皆様、どうもありがとうございました。
とても詳しく教えていただけたので、大変わかりやすく助かりました。
どうもありがとうございました。

回答No.3

info22_

>簡単な線形代数しか学んでいないためわかりません。
そうなら線形代数の参考書を入手されたら如何。
解くだけのことを習っているはずなのでこのような問題を解いているのではないかと思います。

(1)
２次形式式の標準形の所を調べて見て下さい。
a11=1,a22=2,a21=a12=0
A=
[1 0]
[0 2]

(2)
λは書きにくいのでtで代用します。
固有方程式
det(A-tE)=(t-1)(t-2)=0
t1>t2から　固有値は　t1=2,t2=1
固有ベクトルは
t1のとき　(A-2E)(x1,x2)T=0(Tは転置)から　-x1=0
X1= (0.1)(正規化形式)
t2のとき　(A-E)(x1,x2)T=0(Tは転置)から　x2=0
X2= (1.0)(正規化形式)

(3)
>f(X1,X2)を求めよ。
問題ミスですね。
正：f(X1),f(X2)

f(X1)=f(0,1)=2x2^2=2
f(X2)=f(1,0)=x1^2=1

(4)
αは書き辛いのでaと書くと
X3=(1-a)X1+aX2=(1-a)(0,1)+a(1,0)=(a,1-a)
f(X3)=f(a,1-a)=a^2+2(1-a)^2=3a^2-4a+2=3(a-2/3)^2+2/3≧(2/3)(等号はa=2/3のとき）

0<=a<=1より　a=2/3のとき　f(X3)の最小値は　f(2/3,1/3)=2/3

回答No.2

Anti-Giants

ベクトルが縦か横かは、適当に判断してください。

(x1,x2)=(x,y)=z.
A=
a c
c d
とする

f(x,y)=z^TAz=x^2+2y^2.

Iは単位行列。

(1)
ax^2+bxy+cyx+dy^2=x^2+2+y^2.
a=1,b=c=0,d=2.

(2)
固有方程式det(λI-A)の解が固有値.
det(λI-A)=(λ-1)(λ-2).
λ(1)=2,λ(2)=1.

λ(1)に対する固有ベクトルu=(s,t)は、Au=λ(1)u=2u.
成分ごとの式
s=2s.
2t=2t.
s=0,tは任意。
よって固有ベクトルは、u=(0,1)、これは既に|u|=1を満たしている。

固有方程式det(λI-A)の解が固有値.
det(λI-A)=(λ-1)(λ-2).
λ(1)=2,λ(2)=1.

λ(2)に対する固有ベクトルv=(s,t)は、Av=λ(1)v=v.
成分ごとの式
s=s.
2t=t.
sは任意,t=0。
よって固有ベクトルは、v=(1,0)、これは既に|v|=1を満たしている。

(3)「f(u)とf(v)を求めよ」と解します。
f(u)=f(1,0)=2.
f(v)=f(1,0)=1.

(4)
タイピング簡略のためα=aとかく。
f(X3)=f(a,1-a)=a^2+2(1-a)^2=3a^2-2a+2.
a=1/3のとき最小値。