対角化

質問

対称行列の対角化可能であるか証明せよ。
また、反例があるならそれを挙げよ。

という問題なのですが、固有多項式において、最小多項式が重解を持たなければ、ジョルダン標準系にならないから、対角化可能とか言えそうなのか？とか、でも、最小多項式が重解を持つと何故ジョルダン標準系になってしまうのかよく分かってないんだよなとか、右往左往したのですが、良い方法が思い付きません。

どなたか、何か良いアイデアはないでしょうか？

回答No.7

reiman · ベストアンサー

正規行列はユニタリ行列によって対角化される
は正しいし
ユニタリ行列によって対角化される行列はすべて正規行列である。
まだ書き間違いがあった。
「ユニタリ行列によって」を書き損なっていた。
改めて初めから正しく書き直すと、

「正規行列はユニタリ行列によって対角化される」
は正しいし、
「ユニタリ行列によって対角化される行列はすべて正規行列である」
も正しい。
正規行列の中には
実対称行列
実交代行列
直交行列
エルミート行列
ユニタリ行列
歪エルミート行列
がある。
だから、これらはユニタリ行列によって皆対角化可能である。

なお、
任意の行列はユニタリ行列によってジョルダンの標準形化されるとは限らないが、
任意の行列はユニタリ行列によって上三角行列化（下三角行列化）される。

正規行列がユニタリ行列によって対角化されることの証明は
例えば
数学的帰納法によって
「任意の行列はユニタリ行列によって上三角行列化される。」
を証明し、
次にその任意の行列が正規行列だったときにはその上三角行列は対角行列になっていることを示す。

お礼

どうやら、正規行列というものがキーワードだったみたいですね。
正規行列について調べてみたところ、
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node17.html
に証明が載っていました。

皆さん色々どうも有り難うございました。

回答No.9

arrysthmia

行列が与えられると、その固有値と
一般固有空間の階層構造が定まる。
各一般固有空間の基底の置き方には、まだ
任意性が残っている。
それらの基底ベクトルを並べたものが、
標準形への変換行列になる。
基底が正規直交なら、変換行列がユニタリである。
ただし、任意性と言っても、
空間毎に内部で調整できるに過ぎず、
一般固有空間どうしの位置関係は変えられない。
だから、変換行列をユニタリにできるかどうかは、
行列の一般固有空間どうしが、もともと
直交しているか否かで決まる。
その条件が、「正規行列」という訳。
同じ固有値に属する一般固有空間どうしは、
高さの低いものが高いものに含まれる
という包含関係があるため、
高さの低い方から順に、
グラム・シュミットなどを使って直交化すれば、
内部では正規直交するようにできる。

回答No.8

Tacosan

「固有値/固有ベクトルが存在する」ことを仮定していいなら
1. 適当に回転することで固有ベクトルは (1, 0, ..., 0)^t と仮定してかまわない
2. 回転変換は等長変換だからユニタリ行列で書ける
3. エルミート行列に対してこの変換を行うと, 1行目および 1列目は対角成分 (これは固有値) を除いて 0 になる
4. 残った部分はエルミート
の順に処理すればいける.

回答No.6

reiman

修正

正規行列の例として挙げた
交代行列は実交代行列の書き間違い。

回答No.5

reiman

正規行列はユニタリ行列によって対角化される
は正しいし
ユニタリ行列によって対角化される行列はすべて正規行列である。

正規行列の中には
実対称行列
交代行列
直交行列
エルミート行列
ユニタリ行列
歪エルミート行列
がある。
だから、これらは皆対角化可能である。

回答No.4

reiman

[0 2]
[0 0]
をジョルダン化する行列はa≠0として
[a 　b]
[0 a/2]
だが
[a]
[0]
と
[　b]
[a/2]
が直交するための条件b=0及び
[a]
[0]
が長さ1である条件a=1を満たすとすると
直交化行列は
[1 　0]
[0 1/2]
とならざるを得ないが
[　0]
[1/2]
は長さが1でない。
すなわち
[0 2]
[0 0]
をジョルダン化する行列はユニタリ行列にできない。
以上から一般に
「どのようなユニタリ行列Uを選んでも
U^-1AUをジョルダンの標準形にできない行列Aが存在する。」
といえる。

「最小多項式が重解を持たなければ対角化できる」
は正しく、
「最小多項式が重解を持つと対角化できない」
も正しい。
ただし、
「最小多項式が重解を持たなければ、ジョルダン標準形にならない」
は正しくない。
なぜなら、対角行列はジョルダンの標準形だからだ。
もちろん、ジョルダンの標準形は対角行列とは限らない。
すなわち、
「最小多項式が重解を持つかどうかに関わらず、常にジョルダン標準系になる」
が正しい。

お礼

確かに、任意の行列Aは、どんな行列を選んでもユニタリ行列によってジョルダン標準形にすることは無理なようですね。

ただ、Aがエルミート行列の場合は、必ずユニタリ行列によってジョルダン標準形に出来るといえそうな気がするのですが、どの様に示せばいいでしょうか？

回答No.3

arrysthmia

蛇足：

実対称行列なら、エルミートだからね。

お礼

そうですね、実対称かエルミートとしておくべきでしたね。

もっとも、ANo.1の方の「任意の行列 A に対し, U^-1AU がジョルダン標準系であるようなユニタリ行列 U が存在する」というのが、分かれば、Jをジョルダン標準形、^*が転置共役を表すとすると、
J=U^*AU
J^*=U^*A^*U
Aがエルミート行列なら、
　 =U^*AU
よって、
J=J^*
なので、Jは対角行列。といえるのですが、任意の行列に対して、何故必ず、ジョルダン標準形に変換できるユニタリ行列Uが存在すると言えるのかが分からないのです。

多分、固有値が重解であっても、その固有値に対応する固有ベクトルは少なくとも1つはある、ってことを使って、任意の行列Aに対して無理矢理作るのかな？とか考えてみたのですが、どの様に証明すればいいのでしょうか？

回答No.2

arrysthmia

反例：

A =
　　[ 1+i　　1　 ]
　　[ 1　　　1-i ]　　ただし i は虚数単位。

「対称行列」じゃなく「エルミート行列」なら、対角化可能。
No.1 を使って、ジョルダン標準形の転置共役を求めれば解る。

回答No.1

Tacosan

えぇと, 「任意の行列 A に対し, U^-1AU がジョルダン標準系であるようなユニタリ行列 U が存在する」ことは使っていいのかなぁ?

お礼

任意の行列をジョルダン標準系に出来るユニタリ行列Uが、何故必ず存在するといえるのかもよく分かっていないので是非その事も説明していただけるとありがたいです。