ルジャンドル(Legendre)変換の凸性条件

質問

例えば、y(x)=x^3をルジャンドル変換することを考えます。xに共役な変数を
p=dy/dx=3x^2 ...(1)
で定義して、y(x)のルジャンドル変換を
　　　　　　 q(p)=xp-y(x) ...(2)
とします。このとき、(1)式を逆解きして
x=+√p , x=-√p ...(3)
を(2)式へ代入して、q(p)を作ります。

しかし(3)式でもわかるように、2つの根があるために、q(p)は2つの関数になってしまいまい、一意的な値をとれません。

物理では、このようなことを避けるため、xの関数xp-y(x)を最大にするようなxを選ぶことで、(3)式のどちらか一方だけを選択するようです。これを「ルジャンドル変換の凸性条件」と呼ぶらしいのですが、これがとても人為的なものに思えます。「xの関数xp-y(x)を最大にするようなxを選ぶ」ことが正当化できる理由を教えて下さい。

回答No.2

physicist_naka · ベストアンサー

No.1のお礼に対して。
Landauの擬似自由エネルギーを想定されているのでしょう。
これは転移温度以下ではおっしゃるように、2重井戸型ポテンシャル
[f(x)=-x^2+x^4]のような関数になっています。
これについてもやはり「熱力学 =現代的な視点から」
の10-3章をご覧ください。
これによりますと、Landauの擬似自由エネルギーは、下に凸ではない
領域があるので、熱力学的な系のHelmholtzの自由エネルギーではあり得ない
とのことです。
しかし、この自由エネルギーをLegendre変換（もどき？）して、
Gibbsの自由エネルギーを得ることが出来ます。
当然のことながら、情報の一部が失われてしまうので、逆変換を
しても元には戻りません。しかし、逆変換したものは、
Helmholtzの自由エネルギーとなります。
本来はこのHelmholtzの自由エネルギーを使うべきなのでしょうけれども、
便宜上、Landauの擬似自由エネルギーを使っているものと思います。

Landauの擬似自由エネルギーをLegendre変換しようとすると、
ご質問にあるように、複数出てきてしまいます。
ここで、xの関数xp-y(x)を最大にするようなxを選ぶということは、
本来のHelmholtzの自由エネルギーの唯一のLegendre変換のｘを選択した
ことに対応していると思います。

お礼

またまた、お礼が遅くなり、失礼しました。
とても明快なご説明に、もやもやしていたものが薄れて行きました。
有り難うございました。

回答No.1

physicist_naka

ルジャンドル変換は、下に凸な関数に対して定義されています。
例としてあげられているy(x)=x^3は、下に凸ではありませんので、
定義できません。ｘの範囲をｘ＞０にとれば可能です。
(3)式の x=+√(p/3) （1/3が抜けてました。）を選択するというのは
こういうことでしょう。
参考文献を挙げておきます。
「熱力学=現代的な視点から」田崎晴明著の付録H

お礼

お礼の返事が遅くなりまして申し訳ありません。
改めて、ありがとうございました。
さて、紹介して頂いた「熱力学=現代的な視点から」を読みました。
Legendre変換は下に凸な関数に対して定義されており、上に挙げた関数の例は確かに、x<0の領域で不適切な関数でした。そういう関数はLegendre変換すること自体がナンセンスなんでしょうね。
しかし物理では、2重井戸型ポテンシャル[f(x)=-x^2+x^4]のような関数を「平気で」Legendre変換しますが、「熱力学=現代的な視点から」にもあるように、そのような関数f(x)をLegendre変換しようとすると、f(x)の情報の一部が失われてしまう様です。
では、物理でf(x)をLegendre変換することの正当性はどういう理由なのでしょうか?
たいぶ長くなってしまいましたが、御存じであれば、お教え下さい。