凸関数について質問です。

質問

右図のように、点Oを中心とする半径１、中心角α（０＜α＜π ）のおうぎ形OABがある。
このおうぎ形の弧AB（端点をのぞく）上に異なる２点P,Qをとり四角形APQBを作る。

P,Qが弧AB上を動くとき、四角形APQBの面積Sの最大値を求めよ。

（ある方の回答）

図形ＡＰＱＢＯの面積＝Ｓとし、∠ＰＯＡ＝α、∠ＰＯＱ＝β、∠ＢＯＱ＝γ　とすると、α＋β＋γ＝θ。

sinxは　0＜x＜πの間で上に凸の関数だから、α、β、γについて　sinα＋sinβ＋sinγ≦3sin(α＋β＋γ)/3　‥‥‥(1)　が成立するから

、2Ｓ＝sinα＋sinβ＋sinγ　より、Ｓ≦(3/2)*(sinθ/3)。
よって、図形ＡＰＱＢの面積＝Ｓ-(1/2)*(sinθ)だから、求める最大値は、１/２*（３*ｓｉｎθ/３－ｓｉｎθ)
等号は、(1)より　α＝β＝γ＝θ/3の時。

「sinxは　0＜x＜πの間で上に凸の関数だから、α、β、γについて　sinα＋sinβ＋sinγ≦3sin(α＋β＋γ)/3　‥‥‥(1)　が成立するから」

この部分が分かりません。

凸関数について調べてみると

ｆ（ｘ）が閉区間Ｉにおいて凸関数であるとき
Ｉに属する２点ｘ１とｘ２と、実数０≦α≦１を
どのようにとっても、
ｆ（αｘ１＋（１－α）ｘ２）≦αｆ（ｘ１）＋（１－α）ｆ（ｘ２）が
成立することを言う

と書いてありましたが、

ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘはともかく、
αとｘ１とｘ２に対応するものは
どれでしょうか？

お願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

書き込みが面倒なので、URLを貼っておく。
例題2に書いてある。

http://www16.ocn.ne.jp/~suuri/diary/intro2-3.pdf#search='

回答No.1

noname#152422

> ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘはともかく、

いいえ、そこが違います。

sin(x)は0≦x≦πについて凸ではありません。

f(x)=-sin(x)と置くべきです。

f((α+β+γ)/3)
=f((1/3)α+(2/3)((β+γ)/2))　　　←αと、「βとγの中点」に注目
≦(1/3)f(α)+(2/3)f((β+γ)/2)
=(1/3)f(α)+(2/3)f((1/2)β+(1/2)γ)　　←βとγに注目
≦(1/3)f(α)+(2/3)((1/2)f(β)+(1/2)f(γ))

となります。

このあとはわかりますね？

補足

｛sin(x)は0≦x≦πについて凸ではありません。｝
この辺がよくわかりません・・・。

でも、上の方の回答でわかりました。
ありがとうございました。