熱力学でのルジャンドル変換

質問

エントロピーS(U,V,N)をヘルムホルツの自由エネルギーF(T,V,N)にルジャンドル変換を使って変換する事はできますか？

dS = (∂S/∂E)dE + (∂S/∂V)dV + (∂S/∂N)μdN
=(1/T)*dE - P*dV + ∑μdN 　　　　　となります。

dF＝-S*dT - P*dV + ∑μdN　　なので。

dF = -s*dT + dS - (1/T)*dE　　　となります。

これってなんか変だと思うんですが、合ってますか？　最後の式の2項目のdSというのが変だと思うんですが。
そもそもエントロピーをヘルムホルツの自由エネルギーにルジャンドル変換を使って変換できるのでしょうか？

それと基本的な事ですが、
dF = -S*dT - P*dV + ∑μdN と　F = T*S + V*P + ∑μdN　の関係がよくわかりません？
dFはFの微分なのはわかってるいます。
例えばdFが与えられた時、dFからFを導く事はできるのでしょうか？

回答No.3

jamf0421 · ベストアンサー

すでに前の方々のご指摘のようにEntropyからエネルギーはでてきません。Entropyのルジャンドル変換はMassieu変換というやつでないですか？出てくるのはMassieu関数です。S=S(U,V,Ni)から、独立変数Uを(1/T)に置き換えてみると、∂S/∂U=1/Tを知って
S[1/T]=S-(1/T)U=-F/T
という変数が出てきます。さらに独立変数Vの方を∂S/∂V=P/Tを知って
S[P/T]=S-(P/T)V
で、これは本質的に新しい関数です。
UとVを一度に変換すれば
S[1/T, P/T]=S-(1/T)U-(P/T)V=(TS-U-PV)/T=-G/T
という変数が出てきます。

回答No.2

drmuraberg

熱力学関数、内部エネルギE→ヘルムホルツの自由エネルギＦへのルジャンドル変換は、
熱力学第一法則の式
dE = T*dS – p*dV + ∑μdN　　　(1)
からスタートしています。
変換式が
F = E – TS 　　　　　　　　　(2)
ですから、Ｎｏ．１の指摘に有るように、Ｆと同じ次元を持つ物理量はエントロピーＳでは
無く、温度とエントロピーの積ＴＳです。

dS = (∂S/∂E)dE + (∂S/∂V)dV + (∂S/∂N)μdN
の偏微分を正しく置き換えると
dS = dE/T + p*dV/T - ∑μdN/T
ですから、両辺にＴを乗じて、移行して整理すると(1)式に戻ります。

（２）式からdFを計算すると
dF = dE – TdS – SdT
= T*dS – p*dV + ∑μdN – TdS – SdT
= -S*dT - P*dV + ∑μdN
となります。

F = T*S + V*P + ∑μdN　　　は正しくありません。

もう一度、整理して考えられたらいかがでしょうか。

回答No.1

rnakamra

> エントロピーS(U,V,N)をヘルムホルツの自由エネルギーF(T,V,N)にルジャンドル変換を使って変換する事はできますか？

できません。
ルジャンドル変換を使い異なる次元を持つ物理量を作ることはできません。
ですのであとの議論には無理があります。

まず、
> dS = (∂S/∂E)dE + (∂S/∂V)dV + (∂S/∂N)μdN
> =(1/T)*dE - P*dV + ∑μdN 　

ここから違います。
(∂S/∂V)_(E,N)や(∂S/∂N)_(E,V)の値が違います。そのため変形後の次元がぜんぜん合致していません。(1項目はエントロピーと同じ次元ですが、2項目,3項目はエネルギーと同じ次元となっています)