最大値は持つが最小値は持たない条件

質問

分数関数f(x)で分母が２次式で分子はxの関数があります。「最大値は持つが最小値は持たない条件」としてD≧0でありf(x)=x/(x-p)(x-q)と変形しています。pqはどう符号だということは分かっています。

さらに、p≠qのときはx=pが漸近線で-∞か∞に発散するので最大最小は持たない。p=q>0のときも不適。

よってD=0のときと書いてあります。

なんでD≧0なのでしょうか。また重解を持っても、仮にそれをx=uとするとlim(x→u)y=±∞になりいずれにせよ極地（最大値最小値）を持たないのではないでしょうか。このかんすうはx軸も漸近線なので。

よろしくお願いします。どなたか教えてください。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

面白そうですが、いまいち題意が理解できません。

・分数関数 f(x)=g(x)/(x^2+bx+c) のg(x)も多項式なのですか。
・「最大値は持つが最小値は持たない」というのは微妙な表現です。
　「上にだけ有界」とみなしてみましょう。

[分子式] g(x)については、2次以上の偶数次項の係数がすべて負で、3次以上の奇数次項係数がすべて零なら、
「上にだけ有界」になりそうです。
[分母式] x^2+bx+c については、判別式 D の正負なんぞ関係ないような感じです。

ほかに何か制約条件でもあるのでしょうか?

回答No.5

noname#101087

#4 の続きです。

>重解を持っても、仮にそれをx=uとするとlim(x→u)y=±∞になりいずれにせよ極地（最大値最小値）を持たないのではないでしょうか。

f(x)=x/(x-u)^2 の増減をx軸上でトレースしてみましたか?
lim(x→u)y　はu の上下で同じ極性(正負号)になります。

お礼

みおなさん本当にありがとうございました。

回答No.4

noname#101087

#2 です。

イヤハヤ、分数関数f(x)の「分母が二次式」、「分子はxの関数=g(x)」 だと思ってました。
「分母が二次式」、「分子はx」の分数関数f(x)、なのですね。

>なんでD≧0なのでしょうか。

D<0 の場合。
x軸上において分母二次式が「非零定符号」になります。
この前提で分数関数f(x)の増減をトレースすれば、最大値と最小値の両者があるとわかります。(お試しのほどを)
この場合を除外して、D≧0です。

回答No.3

info22

#1です。

理解不能ということなら先ずD=０(p=q=u)の場合やD>0(p≠q)の場合とD>0の場合のグラフを描いてみて理解するのが一番早道だと思います。

その後A#1を読めば理解できるでしょう。

参考URLに無料のグラフを描くソフトがありますからダウンロードしてきて使ってみてください。yの式の右辺だけ入力すればグラフを描いてくれます。グラフは色を変えて同時に何本も重ねてかけます。
詳しい使い方は「データパネル」の「ヘルプ」の所にHTMLマニュアルがありますよ。慣れてくると高度な使い方もでききっと先々重宝されると思います。

最大値だけ持つ場合
y=x/(x+1)^2

最小値だけを持つ場合
y=x/(x-1)^2

最小値も最大値も持たない場合
y=x/((x-1)*(x-3))
y=x/((x+1)*(x-2))

最大値と最小値を持つ場合
y=x/((x^2)-x+1)

以上のグラフを描いてみてください。

参考URL：

http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

回答No.1

info22

＞分数関数f(x)で分母が２次式で分子はxの関数があります。
＞「最大値は持＞つが最小値は持たない条件」として
＞D≧0でありf(x)=x/(x-p)(x-q)と変形しています。
＞pqはどう符号だということは分かっています。

pqが同符号でも、D＞0の時つまりp≠qの時は最大値、最小値を持ちませんよ。すなわち

D＝0つまりp=qであること必要ですね。

＞
＞さらに、p≠qのときはx=pが漸近線で-∞か∞に発散するので最大最小は
＞持たない。

つまりD＞0　ですね。x=qも漸近線になります。最大値、最小値は持たないですね。

＞p=q>0のときも不適。
つまりD＞0です。この時は最小値を持ち、最大値は持ちませんので不適ですね。

＞
＞よってD=0のときと書いてあります。

つまり、p=q＜0ですね。

p=q=0は最大値、最小値を持たず不適ですね。

＞
＞なんでD≧0なのでしょうか。

D＜0だと分母はゼロになりませんから分子がxだと最大値と最小値の両方を持ちますので不適。
y=x/{(x^2)-x+2}のグラフを描いて見て下さい。理解できるでしょう。

分母がゼロになるxが存在することが必要です。それにはD≧0であることですね。（必要条件に過ぎないです。十分条件ではないですよ。）

D≧0なら分母＝0とする実数p,qが存在します。

y=x/{(x-p)(x-q)} (p≠q,D>0の場合) または　y=x/{(x-u)^2}　(D=0の場合)

と書けます。

＞また重解を持っても、仮にそれをx=uとするとlim(x→u)y=±∞になり
＞いずれにせよ極地（最大値最小値）を持たないのではないでしょうか。

u＜0の時、lim(x→u)y=-∞になり
最小値は持ちませんが極大値（最大値）を持ちます。
y=x/[(x+1)^2}のグラフを描いてみて確認して下さい。

p=q＜0（D＝0）は求める解です。

なお、u＞0の時は、lim(x→u)y=∞になり
最大値は持ちませんが極小値（最小値）を持ちます。
y=x/[(x-1)^2}のグラフを描いてみて確認して下さい。

お礼

大変申し訳ありませんが、能力のないためか理解できません。