cone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})がなかなか言えません
[定理]B:={b_1,b_2,…,b_r}⊂R^nとする時,
cone(B) (Bの最小の凸錐)
co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}) (∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}の凸包)
{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ_i≧0(i=1,2,…,r)}
の三集合は一致する。
の証明が出来ません。
凸錐の定義は
「X(⊂R^n)が次を満たす時,Xを凸錐という。
(i) x∈X,λ≧0⇒λx∈X
(ii) x,y∈X⇒x+y∈X」です。
cone(X)の定義はX(⊂R^n)を含む最小の凸錐です。そのようなものとして∩[A∈{A;X⊂A,Aは凸錐}]Aがとれると思います。
co(X)の定義はX(⊂R^n)を含む最小の凸集合です。そのようなものとして∩[A∈{A;X⊂A,Aは凸集合}]Aがとれると思います。
とりあえずcone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})を示そうと試みましたがなかなかできません。
∀x∈cone(B)(∩[A∈D]A (D:={A;{b_1,b_2,…,b_r}⊂A,Aは凸錐}))をとると
∀A∈D,x∈A∧{b_1,b_2,…,b_r}⊂A で∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0}⊂Aも言える。
後は,∀C∈{C;∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0},Cは凸集合}:=Eを採るとC∈Dである事(つまりE⊂D)が言えれば
x∈co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})でおしまい。
となるのですが
∀x∈C,∀λ≧0に対してλx∈C
や
∀x,y∈Cに対してx+y∈C
が言えません。
どうすればcone(B)⊂co(∪[i=1..r]{λb_i;λ≧0})が言えますでしょうか?
