変数変換

質問

下記の変数変換はあっているでしょうか？また、論文から引用した式なのですが、どうやって変数変換を行っているか、途中式が分かりません。分かる方がいましたら、教えてください！

1/y*(d^2x/dφ^2)+y*(d^2x/dψ^2)+d/dφ*(1/y)*(dx/dφ)+(dy/dψ)*(dx/dψ)=0

ξ=tanhaφを用いてφ=-∞～+∞をξ=-1～+1に変換すると上式から、次式が得られる。

-2a^2*ξ(1-ξ^2）*(dx/dξ)+(a(1-ξ^2）)^2*(d^2x/dξ^2)+y*(d^2x/dψ^2)-(1/y)*(a(1-ξ^2）)^2*(dy/dξ)*(x/dξ)+y*(dy/dψ)*(dx/dψ)=0

回答No.2

Akira_Oji · ベストアンサー

変数変換後の式にはエラーがあると思います。

ご存知のようにξ=tanh(aφ)を用いて(微分のChain ruleとで）
(d/dφ)=(dξ/dφ).(d/dξ)
と
dξ/dφ＝sech^2(aφ)a=a{1-tanh^2(aφ)}=a(1-ξ^2)
を使って

(d/dφ)=(dξ/dφ).(d/dξ)＝a(1-ξ^2).(d/dξ)

(d/dφ)^2=(d/dφ){a(1-ξ^2).(d/dξ)}
=a(1-ξ^2).(d/dξ){a(1-ξ^2).(d/dξ)}
=a^2(1-ξ^2).(d/dξ){(1-ξ^2).(d/dξ)}
あるいは微分を実行して
=a^2(1-ξ^2).{(-2ξ).(d/dξ)+(1-ξ^2).(d/dξ)^2}
など
d/dφ*(1/y)=(dξ/dφ).(d/dξ)(1/y)=a(1-ξ^2).(-1/y^2)(dy/dξ)
など
----------

ξ=tanhaφを用いての変換では、ψの部分は変換されていませんので、第１式にある第２項と第４項は、変換後もそのまま変わらずに第３項と第５項にあるべきですが、
y*(d^2x/dψ^2)
と
(dy/dψ)*(dx/dψ)
は変換後には

y*(d^2x/dψ^2)
と
y*(dy/dψ)*(dx/dψ)
になっています。変換前の第４項にｙが余分に掛かって変換後の第５項になっています。

φに関係していた部分は、変換後の第１項、第２項、第４項ですが、それぞれ(1/y)の因子が足りません。もし、全体にyを掛けたとすれば、変換後の第３項にYがひとつ足りません。変換後の対応する順に並べれば以下のようになると思います。

-2(1/y)*a^2*ξ(1-ξ^2）*(dx/dξ)
+(1/y)*(a(1-ξ^2）)^2*(d^2x/dξ^2)
+y*(d^2x/dψ^2)
-(1/y)^2*(a(1-ξ^2）)^2*(dy/dξ)*(x/dξ)
+(dy/dψ)*(dx/dψ)=0

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
もう一度、見直してみます。

回答No.1

rabbit_cat

普通に、
dx/dφ = dx/dξ・dξ/dφ
d^2x/dφ^2 = d^2x/dξ^2・(dξ/dφ)^2 + dx/dξ・d^2ξ/dφ^2
といった関係を使えばいいのでは。