xlogxは凸関数

質問

xlogxは開区間(0,1)において凸関数なのですが、実際に凸関数の定義にしたがって求められません。

つまり…
(0,1)から任意の2点x,y、[0,1]内の任意のtに対し、
(tx+(1-t)y)log(tx+(1-t)y)≦txlogx+(1-t)ylogy

を示したいのですが…どなたかお願いします。

回答No.1

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。簡単な説明だけしますので、細かいところは勉強だと思って紙と鉛筆を用意して自分で理解してください。

f(x) = xlogx とする。
任意の x,y∈(0,1) （x<y とする) と任意の t∈[0,1] に対して

z = tx+(1-t)y

とおくと

x≦z≦y

が成り立つ。（理由はご自分で考えてください）

このとき、平均値の定理より

(f(z)-f(x))/(z-x) = f'(α) = logα＋１ (x≦α≦z) …(1)

(f(y)-f(z))/(y-z) = f'(β) = logβ＋１ (z≦β≦z) …(2)

が成り立つ。（理由はご自分で考えてください）

α≦β　より　logα≦logβ であるから　(1)≦(2)

つまり

(f(z)-f(x))/(z-x) ≦ (f(y)-f(z))/(y-z)

である。z = tx+(1-t)y を代入して整理すれば（実際に手を動かして考えてください）

(tx+(1-t)y)log(tx+(1-t)y)≦txlogx+(1-t)ylogy

となる。

※質問等があれば遠慮なく補足の欄に書いてください。

お礼

なるほど。不等式を変形して無理矢理その形にして示すのではなく、平均値の定理を利用して導けば示すことが出来るんですね。

実際に計算をしていくと確かに示すことが出来ました。
分かりやすい説明、ありがとうございました。