凸関数に関する問題

質問

関数fが区間Iで凸関数であることの定義は、

『 区間Iにおける全てのx,yに対して
αf(x)+(1-α)f(y)≧f(αx+(1-α)y)　但し、0＜α＜1 』

であることとします。

この時以下が成り立つことを示せ。

(1)関数fが凸ならば，任意の3点x＜y＜zに対して
f(y)-f(x)/(y-x)≦f(z)-f(x)/(z-x)≦f(z)-f(y)/(z-y)

(2)関数fは内点で連続であることを示せ。

(1)の証明は出来ました。

かなり困っているので、どなたか(2)が分かる方、よろしくお願いします。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

（１）の結果を使います。aとtを区間内にとると
x<a<t<z　であっても　x<t<a<z　であっても
f(x)-f(a)/（x-a）＜f(t)-f(a)/(t-a)＜f(z)-f(a)/(z-a)

ｔを動かすとき両辺はｔと関係のない定数

ここでt-aをかけて真ん中の項の分母を払うと
t-aの正負にかかわらず
(t-a)*p＜f(t)-f(a)＜(t-a)*q
p,qはｔと関係のない定数
ｔ→ａ　とすると　f(t)-f(a)→０
これはａで連続であることを意味する。

絶対値でも付けてしまうと、正のときとか負のときと言わなくても済むかな。

お礼

ありがとうございました。
とても分かりやすく助かりました。