整式の問題です

質問

(1)x=1+√7のとき、
x^4+2x^3-12x^2-26x-14を求めよ。

(2)x^2+x=1のとき、
x^5-5xを求めよ。

(1)は４乗の項と２乗の項をｘ^2でくくり三乗の項と一乗の項もｘ^2でくくって解けたのですが、効率的なとき方はあるでしょうか？

(2)は解き方がわからないので教えて下さい。
よろしくお願いしますm（__）m

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんにちは。
＞(1)x=1+√7のとき、
x^4+2x^3-12x^2-26x-14を求めよ。

x=1+√7
x-1=√7
両辺を二乗して
(x+1)^2=7
x^2-2x+1=7
x^2-2x-6=0
このことを利用して、求めるx^4+2x^3-12x^2-26x-14を
まずx^2-2x-6で割ってみましょう。

計算すると
x^4+2x^3-12x^2-26x-14=(x^2-2x-6)(x^2+4x+2) +2x-2
になりました。
(x^2-2x-6)=0ですから、この式の値は、あまりの2x-2のｘに
1+√7を代入すればいいことがわかると思います。

よって式の値は2(1+√7)-2=2√７

＞(2)x^2+x=1のとき、
x^5-5xを求めよ。

x^2=1-xを用いて、式に代入していってみましょう。
x^5-5x=x(x^2)^2-5x
=x(1-x)^2-5x
=x(1-2x+x^2)-5x
=x(1-2x+1-x)-5x
=x(2-3x)-5x
=2x-3x^2-5x
=-3(1-x)-3x
=3+3x-3x
=3

となり、簡単になりましたね。

頑張ってください。

補足

こんにちは、fushigichanさん。
違うとき方で解いていただいて、どうもありがとうございます。
(1)の方は、x-1=√7 を二乗して次数を整えるというか、割り算しやすいようにしてるんですね。
試しにx-（1+√7）のまま割り算してみたら途中でうんざりしてしまいました。

冬休み明けにテストがあるので、自力で解けるようにしたいと思います。
参考になりましたー（^^）

回答No.1

noname#24477

やり方は２通り
（２）
１つのやり方は、次数下げ
x^2=-x+1　より
ｘ＾２が出てくるたびに－ｘ＋１に置き換える
ｘ＾５－５ｘ＝ｘ＊（ｘ＾２）＾２－５ｘ
＝ｘ＊（－ｘ＋１）＾２－５ｘ
＝ｘ＊（ｘ＾２－２ｘ＋１）－５ｘ
＝ｘ＊（－ｘ＋１－２ｘ＋１）－５ｘ
＝ｘ＊（－３ｘ＋２）－５ｘ
＝－３ｘ＾２＋２ｘ－５ｘ
＝－３（－ｘ＋１）－３ｘ
＝－３

もう１つのやり方はｘ＾２＋ｘ－１でｘ＾５－５ｘを割算をして
掛け算と割算の関係から
（　　）＊（ｘ＾２＋ｘ－１）＋（余り）
の形にする。
ｘ＾２＋ｘ－１＝０だから余りの部分（１次式になっている）だけ
計算すればよい。

（１）も同じ
（ｘ－１）＾２＝７
ｘ＾２－２ｘ＋１＝７
ｘ＾２－２ｘ－６＝０
として上に書いたどちらかでやれば良い。

補足

どうもありがとうございます。
両方の解き方、二つとも参考になりました。
ほんとにどうも（^^）