二項定理の問題で・・・

質問

二項定理の問題なので、表記が見にくくなってしまい、すいません；
ｎとか０とか２は、二乗とかの、全て小さいものとして表記してます；

等式（１＋Ｘ）ｎ乗　（Ｘ＋１）ｎ乗　＝（１＋Ｘ）２ｎ乗
を用いて、次の等式を証明せよ。
nＣ０二乗＋ｎＣ１二乗＋・・・＋nＣn二乗＝２nＣn

この問題で、
（１＋Ｘ）n乗（Ｘ＋１）n乗
＝nＣ０（nＣ０・ｘn乗＋nＣ１・Ｘn-１乗＋・・・＋nＣn）
＋nＣ１Ｘ（nＣ０・Ｘｎ乗＋nＣ１・Ｘn-１乗＋・・・＋nＣn）
＋nＣnＸn乗（nＣ０・Ｘn乗＋nＣ１・Ｘn-１乗＋・・・＋nＣn)

となるようなのですが、どうしてこんな式になるのかがさっぱりわかりません。

また、

（１＋Ｘ）n乗（Ｘ＋１）n乗の展開式においてｘn乗の項の係数は
nＣ０二乗＋nＣ１二乗＋・・・＋nＣn二乗
で、また、
（１＋Ｘ）２n乗の展開式の一般項は２nＣｒＸｒ乗
よってＸｎ乗の項の係数は２nＣｎ
両辺のＸｎ乗の項の係数は等しいから、等式は成立する。

なぜ両辺のＸn乗の項の係数を調べるのでしょうか？

本当にわかりません。アドバイスお願いします。

回答No.2

owata-www

＃１です。

細部は確認してませんが、それで良いと思われます。それで回答はそこまで出てますけど…その後はおわかりですか？

お礼

再度ありがとうございます。
合っていてよかったです。なんとかその後も理解できそうです。
ありがとうございました

回答No.1

owata-www

正直、読みにくいのでヒントだけ

n乗だとわかりにくいので、三乗で解説する。
（１＋Ｘ）^3＝（１＋Ｘ）（１＋Ｘ）（１＋Ｘ）
だから、Ｘ^0乗になるためには、三つの（１＋Ｘ）のうち、すべて１を選ぶ必要がある。つまりＸ^0乗の項の係数は３Ｃ０になる（どれもＸを選ばないため）
次にＸ^1乗になるためには、三つの（１＋Ｘ）のうち、どれか１つだけＸを選ぶ必要がある。だから、Ｘ^1乗の項の係数は３Ｃ１になる。
…

まとめると、（１＋Ｘ）^3＝３Ｃ０*X^0＋３Ｃ１*X^1＋３Ｃ２*X^2＋３Ｃ３*X^3となる。

同様にして（１＋Ｘ）^n＝nＣ０*X^0＋ｎＣ１*X^1＋・・・＋nＣn*X^n
となる。
逆にすれば(Ｘ＋１）＝nＣ０*X^n＋ｎＣ１*X^(n-1)＋・・・＋nＣn*X^0

とりあえずこんな感じで（汚いけど）
あとは、補足に途中まで書いて下さい（そうしないと丸投げと同じなので）

補足

読みにくくてすいません；た、確かに丸投げ一歩手前ですね；気をつけます；

(1+X)^n=nC0*1^n+nC1*1^n-1*X...+nCn*X^n
(X+1)^n=nC0*X^n+nC1*X^n-1*1...+nCn*1^n

1^n-1は、1にどんな数を○乗しても1は1なので表示せず。

(X+1)^nの展開式に、(1+X)^nの、nC0とnC1XとnCnX^nをそれぞれかけることで、(1+X)^n×(X+1)^nを計算している。

↓この式の意味は、↑こんな感じでしょうか？

(1+X)^n(X+1)^n
=nC0(nC0*X^n+nC1*X^n-1+...+nCn)+nC1X(nC0*X^n+nC1*X^n-1+...+nCn)+nCnX^n(nC0*X^n+nC1*X^n-1+...+nCn)

(1+X)^n(X+1)^nの展開式において、X^nの項の係数は、
(nC0)^2+(nC1)^2...+(nCn)^n

こんな風に考えましたが・・