恒等式の問題を教えてください

質問

整式ｆ（ｘ）は、次の恒等式を満たすとする。

ｘｆ（ｘの二乗ー１）－５ｆ（ｘ）＝（ｘの三乗＋１）ｆ（ｘ－１）－２（ｘ＋１）－４ｘ－２９

（１）ｆ（０）、ｆ（１）、ｆ（－１）の値を求めよ。

（２）ｆ（ｘ）の次数を求めよ。

（３）ｆ（ｘ）を求めよ。

特によくわからないのが、（１）でｘ＝０、１、－１を代入数るのは最高次の項が０、１、－１になるように
するためなのですか？右辺のｆ（X-1）にー１を代入するとｆ（－２）になるのですが
これはどうしてですか？

それと、ｆ（０）、ｆ（１）、ｆ（－１）の値を出すときに、それぞれの値を代入した後の計算の仕方が
わからないので値が出せません。

できるだけ簡単で詳しく教えてくださる方がおられましたらよろしくお願いします。

回答No.2

birth11

xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x+1)-4……………(i)
(1)f(x)のxがー1、0、1の時のf(ー1)、f(0)、f(1)をとりあえず求めたいので、
(i)式は恒等式なので、xがどんな実数でも成り立つので、
(i)式にx=-1、x＝0、x＝1を代入します。
x=-1を代入すると-f(0)-5f(-1)=-25………………(ii)
x=0を代入すると5f(0)-f(-1)=-31…………………(iii)
x=1を代入するとf(0)+5f(1)=37…………………(iv)

(i)式でx=-1を代入するとf(ー2)が出てきますが、この係数が0となるのでf(ー2)はかき消されます。
f(-1)=a,f(0)=b,f(1)=cとおくと、
(ii)より、-b-5a=-25……………(v)
(iii)より、5b-a=-31………………(vi)
(iv)より、b+5c=37……………(vii)

(v)、(vi)、(vii)の連立方程式を解くと、
a=6、b=-5、c=42/5
a、b、cをもとにもどすと、
f(-1)=6、f(0)=-5、f(1)=42/5………………(答え)

(2)図を描くととりあえず放物線という方向で解けばいいことがわかります。
よってf(x)は2次と考えられます。……………(答え)

(3)f(x)は2次であるので、
f(x)=ax^2+bx+c………………(11)
にx=-1、x=0、x=1を代入して
6=a-b+c………………(viii)
-5=c……………………(ix)
42/5=a+b+c…………(x)

(viii)、(ix)、(x)の連立方程式を解くと、
a=61/5、b=6/5、c=-5

(11)式に代入して
f(x)＝(61/5)x^2+(6/5)x-5………………………(答え)

お礼

とてもわかりやすく教えていただきうれしいです☆
助かりました。ほんとにありがとうございました＾＾

回答No.1

asuncion

＞右辺のｆ（X-1）にー１を代入するとｆ（－２）になるのですが
＞これはどうしてですか？

-1 - 1 = -2
だからです。

お礼

ありがとうございました