展開式における指定された項の係数を求める問題

質問

二項定理の問題です。

「次の展開式における[　　]内に指定された項の係数を求めよ。」

（1）　　　（2xx-3)の6乗　　　　　　　　　　　　　　　　[xの6乗]

（2）　　　（ｘ+2ｙ-ｚ）の5乗　　　　　　　　　　　　　　 [ｘ２乗ｙ２乗ｚ]

累乗の指数の出し方がわからないので日本語になってしまいました。

読みにくいかも知れませんがよろしくお願いします。

回答No.1

j-mayol · ベストアンサー

質問文にあるとおりです。二項定理を使いましょう。
二項定理を覚えていても使えなくては意味がありません。
どうしてそういう定理になっているのか自分なりにしっかり理解するようにしたほうがいいでしょう。

私なりには次のように考えます。
例えば（x+2y)^4 　　　（ ^は累乗を表す記号）
のｘｙ^3　の係数は　という問題であれば、
(x+2y)(x+2y)(x+2y)(x+2y)　の４つの括弧のうち１つからx、３つから2yを取り出して掛けたものの和になるでしょ。だから4C1*x*(2y)^3=32xy^3 となり係数は32となるわけ。

お礼

丁寧な解説をありがとうございました！

回答No.2

alice_44

二項定理が、(A + B)^n = Σ[k=0…n](nCk)(A^k)(B^(n-k)) であることは
知ってたほうがよいでしょう。貴方に「二項定理の問題」を解く必要があるならね。
その上で、(nCk)(A^k)(B^(n-k)) の中で目的の項と同次なものを探して、
係数を合計すればいい。

(1)
(2x^2 - 3)^6 = Σ[k=0…6] (6Ck) (2x^2)^k (-3)^(6-k)
　　= Σ[k=0…6] {(6Ck) 2^k (-3)^(6-k)} x^(2k)
の項で x^6 と同次なのは、k = 3 のものだけです。
その係数は、(6C3) 2^3 (-3)^3 = -4320.

二項定理の拡張に、多項定理というものがあります。
(A + B + C)^n = Σ {n!/(i!j!k!)} A^i B^j C^k
Σ は、i + j + k = n となる非負整数 i,j,k に渡る総和です。
(　)^n の中身が四項以上になっても、同様。
覚えてしまえば、二項定理も (n - k) が出てこないこちらの形式の方が
むしろ簡明に思えます。

(2)
(x + 2y - z)^5 = Σ {5!/(i!j!k!)} x^i (2y)^j (-z)^k
　　= Σ {{5!/(i!j!k!)} 2^j (-1)^k} x^i y^j z^k
の項で (x^2)(y^2)z と同次なのは、(i,j,k) = (2,2,1) のものだけです。
その係数は、{5!/(2!2!1!)} 2^2 (-1)^1 = -120.

今回の例は、どちらも Σ の項の中で目的の次数のものが一つだけ
でしたが、そうでない例も見てみましょう。

(3)
(x^2 + x + 1)^5 の展開式で x^5 の係数

考えて見てください。

お礼

丁寧な解説をありがとうございました！