整式を整式で割る問題

質問

実数を係数とする整式f(x),g(x),h(x)に対して
P(x)={f(x)}^3+{g(x)}^3+{h(x)}^3-3f(x)g(x)h(x)
Q(x)=f(x)+g(x)+h(x)とおくとき、次の各問に答えよ。ただし、aは実数とする。
(1)P(x)はQ(x)で割り切れることを示せ
(2)P(x)は(x-a)^2で割り切れるが(x-a)^3では割り切れないものとする。このとき、Q(x)がx-aで割り切れるならば、(x-a)^2でも割り切れることを示せ。

(1)は
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
という感じで解けたのですが、(2)の証明の仕方がわかりません。
どなたか回答お願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(1)ができたのなら、
P = Q・｛(f-g)~2 + (g-h)~2 + (h-f)~2｝/2
となることは、解りますね。
Q(x) が x-a で割りきれるとき、
f(a)+g(a)+h(a) = Q(a) = 0 ですから、
上式の｛ ｝内が x-a で割りきれる…すなわち
x=a を代入して 0 になると仮定すると、
f(a) = g(a) = h(a) = 0 となって、
f(x), g(x), h(x) はどれも x-a で割りきれる
ことになります。それでは、
｛ ｝内が (x-a)~2 で割りきれることになり、
P(x) が (x-a) で割りきれないことに反します。
よって、背理法により、
｛ ｝内は x-a では割りきれません。
左辺の P(x) は (x-a)~2 で割りきれるのだから、
Q(x) が (x-a)~2 で割りきれなくてはならない。

お礼

よくわかりました！
回答ありがとうございます。